3.6. автокоррелированные ошибки
3.6. автокоррелированные ошибки
Во всех рассмотренных выше ситуациях предполагалось, что случайные составляющие u t взаимно независимые случайные
величины, имеющие одинаковое распределение N(0, сг2) ■ Между тем, вполне возможно, что для i -го субъекта последовательные ошибки uг1,uг2,к,uiT не являются независимыми, а следуют, скажем, стационарному процессу авторегрессии первого порядка с нулевым средним.
Точнее говоря, пусть мы имеем дело с моделью
yt =М + а+рx,t + u,t , j = І--N, t = 1,K,T ,
в которой
u tt =Pu,,t-1 + £u,
где p|< 1, а случайные величины єл,єі2,...,єІТ являются гауссовскими инновациями, так что они взаимно независимы и имеют одинаковое распределение N(0, <т2) и, кроме того, еи не зависит от значений ui t-k, k > 1. Общий для всех субъектов коэффициент р можно оценить различными способами. При этом в большинстве случаев сначала переходят к модели, скорректированной на групповые средние:
y,t У , = вix,t x j )+{U,t иг ),
т. е.
~,t = в ~t + U,t,
а затем поступают по-разному.
Можно, например, оценить (методом наименьших квадратов) последнюю модель без учета автокоррелированности ошибок,
получить последовательность остатков ~ 1, ~2, ..., u T , вычислить
значение статистики Дарбина-Уотсона
22 Кu j,t-1
d =J=LJ=2
и, используя приближенное соотношение р = 1 d/2, получить оценку рdw = 1 dj2 ■
Можно поступить иначе: получив последовательность остатков U~i1,ucf2,...,~iT, использовать оценку наименьших квадратов, получаемую при оценивании уравнения регрессии
ий =PUi,t—і +Vit.
Искомая оценка вычисляется по формуле:
N T
NT
і =1 t=1
[В пакете Stata8 эта оценка обозначена как рtScorr.]
После получения оценки для р производится преобразование
переменных, призванное получить модель с независимыми ошибками. Наконец, в рамках преобразованной модели производится обычный анализ на фиксированные или случайные эффекты.
П р и м е р
В примере с тремя предприятиями для модели с фиксированными эффектами получаем следующие результаты.
При использовании DW-оценки:
. xtregar y x, fe rhotype(dw) lbi FE (within) regression with AR(1) disturbances
Number of obs = 27
R-sq:
within = 0.9569
between = 0.1111
overall = 0.9252
F(1,23) = 510.54, Prob > F = 0.0000 corr(a_i, Xb) = -0.1625
У | Coe£ | Std^ Err | t | P>t |
x | 1Л05796 | ■0489398 | 22^60 | 0^000 |
cons | -L317209 | ■6964634 | -189 | 0^071 |
rho ar | ■170171 |
sigmaa | L423608 |
sigmau | L773845 |
rhofov | ■3917622 (доля дисперсии, соответствующей индивидуальным эффектам a i) |
F test that all alfa_i=0:
F(2,23)= 3^82, Prob > F = 0^0370
modified Bhargava et al Durbin-Watson = L664958 Baltagi-Wu LBI = L8196862
Оценка коэффициента p по сравнению со значением 1Л02192,
полученным ранее без учета возможной автокоррелированности
ошибок, практически не изменилась ■ И это согласуется со значением
статистики Дарбина-Уотсона^ Вывод об отсутствии
индивидуальных эффектов также не изменяется ■
При использовании tecorr-оценки:
■ xtregar y x, fe rhotype(tscorr)
FE (within) regression with AR(1) disturbances
Number of obs = 27
R-sq: within = 0^9540
between = 0Л111
overall = 0^9252
F(2,23) = 4.66, Prob > F = 0.0199
Оцененное
значение
коэффициента
автокорреляции p на этот раз почти в два раза меньше. Оценка коэффициента практически не изменилась.
3.7. Двухфакторные (двунаправленные) модели 3.7.1. Фиксированные эффекты
Здесь мы рассматриваем модель, в которую помимо индивидуальных эффектов а включаются также и временные эффекты Л(:
yt =м+а ++[xu+u,t, i = N, t = 1,k,t,
N T
где Zuai = 0, = 0, так что ai и At "дифференциальные
i =1 t =1
эффекты". При этом и аі и At интерпретируются как неизвестные
постоянные. Обозначая
1N
yt =— Z yit и т.д. (средние по субъектам),
N i =1
yi =—Z yt и т.д. (средние по времени),
1 NT
У = 2Х Уи (среднее по всем наблюдениям),
получаем:
{yrt Уг ~ yt + У ) = (X,t Xi Xt + X )fi + {Xrt Ur Ut + U ) •
Оценка наименьших квадратов для коэффициента в в этом уравнении (двухфакторная внутригрупповая оценка) имеет вид
N T
YjYj (yit Уг yt + У ){х Хг Xt + x ) W
'CV N T
i =1 t =1 Wxy
= =
W
SEX* Хг Xt + x )2 xx
i =1 t =1
На основании соотношений
{У, У) = аг + {Хг x )в + (Ui U) ,
{у у ) = Л + {xt x )в+(Ut ЇЇ) можно получить оценки для а и At:
аг ={Уг У)-ficV {Хг x),
Л ={yt -У)-ficv {Xt -x).
Для оценивания двунаправленной модели с фиксированными эффектами в пакете Stata применяется процедура xtreg, fe с включением дамми-переменных для временных периодов.
П р и м е р
(объяснение размеров заработной платы, продолжение) Fixed-effects (within) regression
R-sq:
within = 0.1808
between = 0.0005
overall = 0.0638
F(11,3804) = 76.30, Prob > F = 0.0000
коэффициенты при тех же переменных что и в однонаправленной модели с фиксированными эффектами.
sigma_a .40078197
sigma_u .3509988
rho .56593121 (fraction of variance due to a_i)
F test that all a_i=0:
F(544, 3804) = 7.97 Prob > F = 0.0000
. test Y81=Y82=Y83=Y84=Y85=Y86=0
(Здесь Y81 дамми-переменная, равная 1 в 1981 г. и равная 0 в остальные годы; аналогично определяются Y82,...,Y86.)
F(6, 3804) = 1.96
Prob > F = 0.0680
Результаты последнего теста не выявляют значимого влияния временных эффектов.
3.7.2. Случайные эффекты
В этой двухфакторной модели yu =ii + ax+Xt + рxu + uu, j = N, t = T предполагается, что а и Л случайные величины и что E (а)= Е(Л, ) = E (uu ) = 0,
Е (аа, )== К"™ .' = Л
[ 0, если j Ф j,
Е(Л,Л,) = К если ' = '•
[ 0, если t Ф s,
Е(ultu)S ) = К если j= j и t = ^ [0, в противном случае,
Е(аЛ )= 0 , E(auuи )= 0, E(&tuи )= 0 > Е (axu ) = Е {xu ) = Е (u А ) = 0.
Определим vu = a +At + u jt ■ Тогда D(vit ) = D(yitxit ) = a2a + а2л + a2, так что ошибка состоит из трех компонент. При этом
\<jx, если t = S,j Ф j,
D(vit)
, если i = j, t Ф s,
Corr{vit,v. ) =
, если t = s, i Ф j,
1, если t = s, i = j, I 0, если t Ф s, i Ф j. "Межсубъектная" оценка определяется как
Рь
Y (x'x y у
i =1
N '
Y -x )2
i =1
B
Bx
а "межвременная" оценка определяется как
T
Y (xtx уу )
bt
t =
GLS-оценка равна
Pols = <*>iPcv + ®2ры + ®з fibt ■.
где
Wx,
W
xx
a>2 =
Wxx+Ф lixACxx tx:
Фі Bxx s щ =ФФ£^ 5
Ф22 =
°l + No2,
Иначе говоря, GLS-оценка является взвешенным средним одной "внутри"и двух "между"-оценок, с весами, отражающими источники изменчивости.
• Если а2а = <j = 0 (так что все at и Xt равны нулю), то
Pols t W T B T C W + B + C
xx xx xx xx xx xx xx xx xx
N T
ZH(x't -x)yit -У)
= 1 =1 tN=1 T = pOLS (как для пула).
ZZtax )2
i =1 t =1
• При T — °° и N — °° имеем ф22 — 0 и ф32 — 0 , и
Pols = Pcv (как для модели с фиксированными эффектами).
Можно также комбинировать фиксированные временные эффекты и случайные индивидуальные эффекты в рамках процедуры xtreg, re с включением dummy-переменных для временных периодов.
Обсуждение Эконометрика для начинающих (Дополнительные главы)
Комментарии, рецензии и отзывы