1.11. пример подбора моделей нелинейной связи, сводящихся к линейной модели.
1.11. пример подбора моделей нелинейной связи, сводящихся к линейной модели.
Суть политики Кеннеди-Джонсона (Джон Кеннеди — президент США с 1961 по 1963 г., Линдон Джонсон — президент США с 1963 по 1969 г.) состояла в сокращении налогов, увеличении расходов на оборону и ускорении роста количества денег в обращении. Предполагалось, что это вызовет оживление экономики США и будет способствовать снижению нормы безработицы (т. е. доли безработных в общей численности рабочей силы). Ожидалось также, что возрастание темпов инфляции будет при этом не очень сильным.
Рассмотрим прежде всего диаграмму рассеяния для переменных UNJOB (процент безработных в общей численности рабочей силы) и INF (темп инфляции):
Форма облака рассеяния не указывает и на какой-либо другой тип зависимости между этими двумя переменными на периоде наблюдений с 1958 по 1984 год.
В то же время, в период с 1961 по 1969 год наблюдалась следующая картина.
Год | 1961 | 1962 | 1963 | 1964 | 1965 | 1966 | 1967 | 1968 | 1969 |
INF | 1.0 | 1.1 | 1.2 | 1.3 | 1.7 | 2.9 | 2.9 | 4.2 | 5.4 |
UNJOB | 6.5 | 5.4 | 5.5 | 5.0 | 4.4 | 3.7 | 3.7 | 3.5 | 3.4 |
Поскольку, на первый взгляд, расположение точек напоминает график обратной пропорциональной зависимости, можно попробовать рассмотреть модель наблюдений
INFt =a + p(jUNJOBi) + єі , і = 1,...,n ,
соответствующую линейной связи между переменными INF и UNJOBINV = 1 / UNJOB . Подбор такой связи приводит к модели
INF = -3.90 + 27.47 (1/ UNJOB)
с достаточно высоким коэффициентом детерминации R2 = 0.8307 . Однако, характер диаграммы рассеяния переменных INF и UNJOBINV
INF vs. UNJOBINV
6
4H1
2
Ъ , , 1
0.15 0.20 0.25 0.3(
UNJOBINV
указывает на неадекватность и этой модели.
Обратившись еще раз к диаграмме рассеяния исходных переменных INF и UNJOB (для данных за 1961—1969 годы), можно заметить, что кривая зависимости INF от UNJOB по-видимому имеет вертикальную асимптоту INF = 3. Учесть последнее обстоятельство можно в рамках модели Michaelis-Menton
вх ■ UNJOB
INF
вг + UNJOB
которую можно преобразовать к виду
INF = , 1 в2 + UNJOB
учитывающему наличие и вертикальной и горизонтальной асимптот. Такая модель связи линеаризуется переходом к обратным величинам Y = 1 / INF, X = 1 / UNJOB. Действительно, тогда
Y__J_ _вг + UNJOB = 1 + (<92/UNJOB) ~ INF ~ вх ■ UNJOB вх
вх UNJOB где а = 1/вх, P = 0Jвх.
Диаграмма рассеяния для обратных величин Y = 1 / INF, X = 1/ UNJOB имеет вид
>
z
LL Z
0.15
Теперь уже точки на диаграмме рассеяния весьма хорошо следуют прямой линии, подобранной методом наименьших квадратов:
INFINV = 1.947 5.952 • UNJOBINV,
R2 = 0.9914 . Здесь а = 1.947, j3 = -5.952, так что в1 1/ а0.515, в2 =/Зв1 --3.057, и оцененная модель Michaelis-Menton имеет вид
ТД7Г, 0.514 • UNJOB
INF = .
-3.057 + UNJOB
Модель Michaelis-Menton хороша тем, что учитывает наличие асимптот и линеаризуется. С другой, стороны, она является лишь частным случаем более общей модели связи
INF = 6> + °-3
1 в2 + UNJOB
с тремя свободно изменяющимися параметрами. Действительно, в модели Michaelis-Menton
01 -в2 ,
и она только двухпараметрическая, так что модель с тремя свободными параметрами является более гибкой. Но, вместе с тем, трехпараметрическая модель уже не линеаризуется, ипа-раметры в 1,02,03 приходится оценивать, используя итерационную процедуру последовательного уменьшения суммы квадратов
Qвх,в2,въ) = Yinf -вх в-3
(Конечно, в предположении аддитивности ошибок є і.)
«Стартовые» значения параметров в 1, в 2 в этой процедуре
можно взять близкими к оценкам в 1, в 2, полученным при
оценивании предыдущей модели, например,
в 1 = 0.5, в 2 = -3.0, а стартовое значение в 3 можно положить равным 1.
Реализация итерационной процедуры приводит к следующим оценкам параметров:
6^ = 0.581, 6>2 = -3.117, 6>3 = 1.370 ;
при этом, R1 = 0.9992 . Оцененная модель имеет вид
1.370
INF = 0.581 + 1^ .
UNJOB 3.117
На следующей диаграмме показаны наблюдаемые значения переменной INF (INFtrue) и значения (INFmodel), получаемые по оцененной модели.
з
° INFtrue
2
INFmodel
1
з
4
5
6
7
UNJOB
Подобранная модель показывает, что экспансионистские экономические мероприятия первоначально обеспечивают снижение нормы безработицы и реальный экономический рост при умеренной инфляции. Однако, удержать норму безработицы ниже ее естественного значения в течение продолжительного времени можно лишь за счет постоянно ускоряющегося темпа инфляции. К окончанию срока пребывания у власти Линдона Джонсона темп инфляции начал стремительно возрастать, что потребовало смены экономической политики.
Соответственно, наблюдать кривые Филлипса в указанном виде удается только на краткосрочных интервалах.
Обсуждение Институт экономики переходного периода
Комментарии, рецензии и отзывы