2.10. проверка гипотез о значениях коэффициентов: односторонние критерии

2.10. проверка гипотез о значениях коэффициентов: односторонние критерии

Вспомним пример с потреблением текстиля. Мы подобрали линейную модель в логарифмах (с постоянными эластично-стями)

lgT = 1.3739 0.8289 lg P +1.1432 lg DPI

H0: #2 =~1

(здесь T — расходы на личное потребление текстиля, P — относительная цена текстиля, DPI располагаемый доход). В амках этой модели представляют интерес гипотезы и

H0: 0 3 = 1 о «единичной эластичности» расходов на потребление текстиля как по доходам, так и по ценам.

Построить критерии с уровнем значимости а для проверки этих гипотез можно по той же схеме, по которой строятся критерии проверки гипотез H0: в j = 0, только теперь для

проверки гипотезы H0:6 2 -—1 следует использовать t статистику

в 2 -(-1) в 2 + 1

а для проверки гипотезы H0: в 3 = 1 — t статистику

6> 3 -1

S0 3

Каждая из этих статистик, в случае справедливости соответствующей нулевой гипотезы, имеет распределение t(n p) = t(14) . Нулевая гипотеза отвергается, если значение t статистики превышает по абсолютной величине значение Vf (14)10.975(14)2.145.

В нашем примере

в 2 + 1

0.8289 +1

0.0361

= 4.740 > 2.145 ,

6> 3 -1 1.1432 -1

s, 0.1560

= 0.918 < 2.145 .

Таким образом, отклонение значения в 2 от гипотетического значения в 2 =-1 статистически значимо — гипотеза И0:в 2 =-1 отвергается. В то же время, отклонение значения

в 3 от гипотетического значения в 3 = 1 не является статистически значимым, и гипотеза H0:в 3 = 1 не отвергается.

Замечание. Из проведенного рассмотрения видна важность не только абсолютных отклонений оценок в j от гипотетических значений параметров в j, но и точностей оценок в j, измеряемых дисперсиями D^e j j и оцениваемых величинами s~ . Действительно, абсолютные величины отклонений в рассмотренном примере равны

|-0.8289 + 1 = 0.1711 и |1.1432 -1| = 0.1432 ,

соответственно, т. е. отличаются не очень существенно. Однако sh примерно в 4.3 раза меньше, чем sh , и именно такое большое отличие s~ и s~ и приводит, в конечном счете, к

в 2 0 3

противоположным решениям в отношении гипотез H): в 2 ~—1 и H0: в 3 — 1.

Итак, на основании построенной процедуры гипотеза И0:в 2 =-1 отвергается. А что же тогда принимается?

Формально, альтернативой для Ий:в 2 =-1 в построенном критерии является гипотеза И0:в 2 ^-1, поскольку критическое множество содержит в равной степени как большие положительные, так и большие (по абсолютной величине) отрицательные значения t статистики (в 2 + Hs-0 . В то же время, значение 2 + 1)/sg = 4.740, соответствующее

отклонению в 2 -(-1) = 0.1711, скорее говорит в пользу того, что в действительности в 2 >—1 .

В этой связи, естественным представляется более определенный выбор альтернативной гипотезы, а именно, сопоставление нулевой гипотезе Н0:в 2 =-1 односторонней альтернативы НA:в2 >-1| (односторонняя альтернатива — в

отличие от двухсторонней альтернативы H0:6 2 ф -1). При

такой постановке задачи отвержение нулевой гипотезы Н0:в 2 =-1 в пользу альтернативы HA:в 2 >—1 производится

только при больших положительных отклонениях в 2 (-1), т.

е. при больших положительных значениях t -статистики. Если мы отнесем к последним значения, превышающие 11-«(14) = 1095(14) = 1.761, то получим статистический критерий, у которого ошибка первого рода (уровень значимости) равна 0.05 . Его критическое множество определяется соотношением

^±1 > 1.761 ;

справа стоит теперь значение 1.761, ане 2.145, как это было при двухсторонней альтернативе. Поскольку у

нас{Ь 2 + = 4.740, мы отвергаем гипотезу Н0:в 2 =-1 в

пользу гипотезы НA:в 2 >—1.

Построим аналогичную процедуру для параметра в 3. Именно, построим критерий уровня 0.05 для проверки гипотезы H0: в 3 1 против односторонней альтернативы

HA: в 3 > 1. Критическое множество такого критерия должно состоять из значений t -статистики, превышающих 10 95 (14) = 1.761 . У нас значение

—3 0.918 < 1.761

опять меньше порогового, так что гипотеза H0:6 3 1 не отвергается в пользу HA: в 3 > 1.

Обратим теперь внимание на то, что при рассмотрении пары конкурирующих гипотез

H0:# 3 1 , HA:в 3 > 1

мы выделяем в гипотезу H0 только одно частное значение

в 3 1, хотя по-существу дела проблема состоит скорее в выборе между гипотезами

|H0: 0 <6>3 < 1 , HA:6>3 > 1 .

Последняя ситуация коренным образом отличается от предыдущей: H0 оказывается сложной гипотезой, т. е. гипотезой, допускающей более одного значения параметра, в данном случае даже бесконечно много значений параметра в 3. В

противоположность этому, в предыдущей ситуации гипотеза была H0 простой.

Какие осложнения возникают при использовании сложной

нулевой гипотезы?

Возьмем, для примера, частную гипотезу H0:0 3 0.5. Мы отвергли бы ее в пользу HA: в 3 > 1 при > 10,5 (14) = 1.761

S9 з

В то же время, частную гипотезу H0:0 3 11 мы отвергаем в пользу той же HA: в 3 > 1 при

^± > tox (14) = 1.761 .

Иначе говоря, при различных частных гипотезах, входящих в состав сложной нулевой гипотезы H0: 0 < в 3 < 1, мы

получаем различные критические множества, обеспечивающие заданный уровень значимости (ошибку 1-го рода) 0.05 . Построение каждого такого множества непосредственно исполь-

зует конкретное гипотетическое значение

в 3 — 03°

тогда как

в рамках гипотезы H0: 0 < в 3 < 1 отдельное гипотетическое значение параметра в 3 не конкретизируется.

Возникающее затруднение преодолевается, исходя из следующих соображений. Коль скоро мы не в состоянии построить единое для всех 0 < в 3 < 1 критическое множество, вероятность попадания в которое равна а 0.05 при справедливости каждой отдельной частной гипотезы, следует попытаться построить единое для всех 0 < в 3 < 1 критическое множество, вероятность попадания в которое при выполнении каждой отдельной частной гипотезы была бы не больше а 0.05. Такая задача реализуется путем использования критического множества, соответствующего граничному значению односторонней гипотезы, в данном случае в 3 = 1.

Действительно, пусть мы берем критическое множество

в 3 -1

> 1.761 , соответствующее граничной частной гипотезе

в 3 = 1, так что

^ > 1.761

0.05 .

Тогда, если в действительности верна частная гипотеза

в 3 = 0.5 , то

0, -1

> 1.761 в3 = 0.5

^ > 1.761+і05! А= 05

< P

в, -0.5

> 1.761 в3 = 0.5

0.05.

Вообще, какая бы частная гипотеза

ни была верна, вероятность отвергнуть ее в рамках указанной процедуры не превысит 0.05 .

В этом контексте,» = 0.05 по-прежнему называется уровнем значимости критерия, тогда как понятие ошибки 1-го рода уже теряет смысл для критерия в целом. Уровень значимости ограничивает сверху ошибки 1-го рода, соответствующие частным гипотезам, входящим в состав сложной нулевой гипотезы.

Основной вывод из сказанного: при указанном подходе к построению критериев проверки сложных нулевых гипотез вида

H0: в j <-1 (эластичность при в j < 0) , H0: 1 <в j < 0 (неэластичность при в j < 0) , H0: 0 <в j < 1 (неэластичность при в j > 0) , H0: в j > 1 (эластичность при в j > 0)

против соответствующих односторонних альтернатив можно пользоваться критериями уровня а , построенными для работы с теми же альтернативами, но при простых гипотезах в j =-1 , в j =-1 , в j = 1 , в j = 1 , соответственно.

Замечание. То же относится и к другим аналогичным парам гипотез, в которых вместо значения 1 берутся другие фиксированные граничные значения.