Тема 11.2 оценивание коинтегрированных систем временных рядов
Тема 11.2 оценивание коинтегрированных систем временных рядов
Треугольная система Филлипса. Свойства оценок
Пусть имеем N временных рядов уи, yNn каждый из которых является интегрированным порядка 1. Если существует такой вектор /? = (Д, J3N)T, отличный от нулевого, для которого
Рхуи + ... -f PNyNt ~ 1(0) — стационарный ряд,
то ряды коинтегрированы (в узком смысле); такой вектор /? называется коин-тегрирующим вектором. Если при этом
с = Е{РУи + >>>+РмУт1 то можно говорить о долговременном положении равновесия системы в виде:
рхух +...+ pNyN = c.
В каждый конкретный момент времени / существует отклонение системы от этого положения равновесия, характеризующееся величиной
^=РУи + ---+РмУт~с-В силу сделанных предположений ряд zt является стационарным, имеющим нулевое математическое ожидание, так что он достаточно часто пересекает нулевой уровень, т.е. система колеблется вокруг указанного выше положения равновесия.
Положение, однако, осложняется тем, что у коинтегрированной системы 1(1) рядов может быть несколько линейно независимых коинтегрирующих векторов. Если максимальное количество линейно независимых коинтегрирующих векторов для заданных рядов уХп yNt равно г, то это число г называется рангом коинтеграции (cointegrating rank). Для коинтегрированной системы, состоящей из /V рядов, ранг коинтеграции может принимать значения г = 1,N-l. (Формально если ряды не коинтегрированы, то г = 0. Если же имеется г линейно независимых коинтегрирующих векторов и г = N, то все /V рядов стационарны.) Совокупность всех возможных коинтегрирующих векторов для коинтегрированной системы 1(1) рядов образует г-мерное линейное векторное пространство, которое называют коинтеграционным пространством (cointegrating space). Любой набор г линейно независимых коинтегрирующих векторов образует базис этого пространства, и если зафиксировать этот набор в качестве базиса, то любой коинтегрирующий вектор является линейной комбинацией векторов, составляющих базис.
Пусть коинтегрированная система 1(1) рядов yXt9 yNt имеет ранг коинте-грации г и может быть представлена в форме VAR(p) — векторной авторегрессии порядка р:
A(L)yt=/i + €0
где yt = (Ут -,Ут)Т1 /л = (/лХ9 Mn)t! A(L) = A0-AxL-...-ApLp; А0, АХ9Ар — матрицы размера (Nх N); А0 = IN (единичная матрица),
т.е.
yt = М + А Уг-1 + • • + АрУі-Р + •
Тогда ранг матрицы А() равен rank А() = ги (по аналогии со случаем N=2) существует представление этой VAR в форме ЕСМ (модели коррекции ошибок)
рАУі t = Mi + ах xzXt_x +... + aXrzr t_x + X(Гі i,y Дд, _y +... + ft*,y A>4t-j) + £u>
y=i
4Vw = MN + a^izu-i + • • •+ aNrzr, t-i + Z 0Vi,y AVi,r-y + • • •+ fiw,; АУм.н ) +
7=1
где zlp zrt — стационарные 1(0) ряды, соответствующие г линейно независимым коинтегрирующим векторам Дг); (аХХ9адч)7^(аХг9а#г)Г—линейно независимые векторы корректирующих коэффициентов.
Такую модель коррекции ошибок можно записать в компактном виде: Ду, =ju + aj3Tyt_x + £Лу,_і ++ ^-ідЛ-р+і + *r>
где £j,— матрицы размера Nx N;
а и р — (N х г)-матрицы полного ранга г.
При этом столбцы /?(г) матрицы /?являются линейно независимыми
коинтегрирующими векторами, а элементы atj матрицы а — коэффициентами при стационарных линейных комбинациях
ZU- ~ Р{)Уі9 • • • 9 Zr,t~ = Р{г)Уі~
(представляющих отклонения в момент (/ 1) от г долговременных соотношений между рядами ylt9 ...,yNt) в правых частях уравнений для Ауи,AyNr
Представление коинтегрированной VAR в форме модели коррекции ошибок не единственно, поскольку в качестве набора /?(г) можно взять
любой базис коинтеграционного пространства. Соответственно неоднозначность
имеется и в отношении матрицы а. Один из возможных вариантов выбора
базисных коинтегрирующих векторов дается следующим представлением
системы коинтегрированных 1(1) рядов.
Если ранг коинтеграции равен г, 0 < г < N, то при соответствующей перенумерации переменных система 7(1) рядов уи, yNt допускает представление (треугольная система Филлипса):
| Уи | — | V | +с | Уг+и | + | ( л |
| Уп) | , yN.t) | Л', |
| AVr+i,» |
| (я | + | |
где С = (ctj) — матрица размера rx(Nг);
vt = (vu,vNt)T—стационарный (в широком смысле) векторный случайный процесс с E(vt) = 0; ряды уг+1? „ ук , не коинтегрированы.
Отсюда получаем
У и ~спУг+и — -Cx9N-ryN,t=Mi +
Угг ~ СгУг+, t ~ • * • ~~ Сг, N-гУы, t ~ Mr +Vrt*
так что векторы
=(1,0,0,...,0,-сп,...,-с1іЛ,_г)г, Р{2) ~ $9 1,0,..., 0, — с21,..., — С2 дг_г ) ,
Дг)=(0,0,0,...,1,-сн,...,-сг^_г)г
являются линейно независимыми коинтегрирующими. Им соответствуют г стационарных линейных комбинаций рядов уи, ...,yN>t
Z,t ~ Р{)Уі = Уі ~С\Уг+,і ~---~C,N-ryN,t'
Zr, t Р{г)Уі Угг СгУг+, t • • • Cr, N-гУы, t •
Если ряды vu,vrt не коррелированы с рядами vr+1 t, v^,, то переменные yr+itt9 yNj являются экзогенными в первой подсистеме, и ее можно оценивать методом наименьших квадратов. Полученные оценки ctj элементов матрицы С суперсостоятельны, хотя распределение T(ctj ctj) не стремится к нормальному при Т —> <х>.
В случае г = 1 имеем
У и = М + с Угч t + • • • + ci n-іУм, t+vit>
условное распределение оценок наименьших квадратов для коэффициентов (при фиксированных значениях y2j, yNj) является асимптотически нормальным, и это обеспечивает возможность использования стандартных процедур, основанных на /и F-статистиках (конечно, в асимптотическом плане), с коррекцией стандартных ошибок коэффициентов в случае, если ряд v„ не является белым шумом. Коррекция, как и в разд. 10, состоит в замене стандартной оценки дисперсии ряда vu оценкой долговременной дисперсии этого ряда.
Значения ctj можно использовать для построения г линейно независимых (N х 1)-векторов — оценок коинтегрирующих векторов Дг):
Дп =(1,0,0,...,0,-cn,...,-c{ N_r)T,
Дг)=(0,0,0,...,1,-см,...,-сг^_г)г.
Используя построенные оценки коинтегрирующих векторов /?(г), получаем оценки искомых стационарных линейных комбинаций в виде:
*1,М = Р()Уі--> •••> *r,t= Р{г)Уі-Теперь можно вместо указанной выше истинной ЕСМ оценить систему Ayt=M + azt_x + Сі AVm + • • • + Cp-i AVr-p+i + >
в которой
При этом оценки наименьших квадратов для коэффициентов последней модели имеют те же асимптотические распределения, что и при оценивании истинной ЕСМ.
Заметим: если имеем дело со стохастической (а не с детерминистской) коинтеграцией, то для достижения стационарности рядов zlt, zrt приходится в «остационаривающую» линейную комбинацию рядов уи, yNt включать еще и дополнительную трендовую составляющую, так что в этом случае речь идет о существовании стационарных линейных комбинаций (N + 1) переменных у1п yNt и в которых не все коэффициенты равны нулю.
Если ранг матрицы А() равен г, то существует г таких стационарных линейных комбинаций, в которых не все коэффициенты равны нулю, а именно
Р\Уи++ РмУи+Р\%и+*>
РгУм+ — + РгЫУЫ+Рг^+*
с линейно независимыми ((N + 1) х 1)-векторами
Р() =(Ри> P > Pl,n+)t'
P(r) -(Prl> PrN-> Pr,N+) •
При этом последние векторы интерпретируются как линейно независимые коинтегрирующие векторы в системе стохастически коинтегрирован-ных рядов.
Возможность наличия нескольких линейно независимых коинтегрирующих векторов значительно усложняет задачу построения модели коррекции ошибок (ЕСМ), поскольку, как минимум, приходится по реальным статистическим данным оценивать количество таких векторов. Само по себе решение о коинтегрированности нескольких 1(1) рядов в результате использования рассмотренных выше процедур Дики — Фуллера отнюдь не дает нам никакой информации о ранге коинтеграции г, для этого требуются другие статистические процедуры.
Однако если не известен ранг коинтеграции, то теряется смысл оценивания уравнения регрессии в уровнях
Уи=с + Г2У2г+--+ ГмУт+Щ
(или уи=с + y2y2t +... + ГмУт + Yn+* + иг
Действительно, если г > 1, то вектор (1, -уъ -yN)T (или вектор (1, -у2, ~/n> "Yn+xY) является оценкой всего лишь одной из возможных линейных комбинаций г линейно независимых коинтегрирующих векторов, которая может и не иметь разумной экономической интерпретации.
Но даже если ранг коинтеграции г по каким-то причинам известен, при г > 1 возникает другая проблема. В рассмотренном выше представлении Филлипса линейно независимые коинтегрирующие векторы имели вид:
=(1,0,0,...,0,-cu,...,-clN_r)T, Р{2) = (0,1,0,...,0,-с21,...,-с2 д,_г)г,
^(r)=(0,0,0,...,l,-^,...,-crJV_r)r.
Любая линейная комбинация этих векторов (не все коэффициенты которой равны нулю) также является коинтегрирующим вектором, а совокупность
всех возможных линейных комбинаций этих векторов образует линейное
векторное пространство размерности г. Любой вектор из этого пространства
(не все коэффициенты которого равны нулю) является коинтегрирующим
вектором для уи, yNn а векторы /?(г) образуют всего лишь один из
возможных базисов этого пространства. В практических задачах на первый план (наряду с определением ранга коинтеграции) выходит идентификация коинтегрирующих векторов (identification of the cointegrating vectors), приводящих к долговременным соотношениям, имеющим разумную экономическую интерпретацию.
В настоящее время наиболее распространенной является методика определения ранга коинтеграции, предложенная Йохансеном в (Johansen, 1988). Однако точное описание этой процедуры требует более детального рассмотрения соответствующего математического аппарата. Мы рассмотрим эту процедуру при изложении темы 11.4, а сейчас сосредоточимся на случае, когда г = 1, т.е. (с точностью до пропорциональности) имеется всего один коинтегрирующий вектор.
Оценивание модели парной регрессии для двух рядов, имеющих стохастический и детерминированный тренды
Наиболее простой является ситуация, когда N = 2. В этом случае если рассматриваемые ряды уи и y2t коинтегрированы, то ранг коинтеграции может быть равным только 1. Как отмечалось ранее, при построении модели коррекции ошибок на первом шаге процедуры Энгла — Грейнджера, вообще говоря, нельзя пользоваться обычными регрессионными критериями (даже в асимптотическом плане). И причина этого в том, что получаемые на первом шаге оценки и статистики в общем случае имеют нестандартные асимптотические распределения.
Об одном исключении из общего случая уже говорилось выше — это треугольная система Филлипса
Уг = Pxt + vn xt =xt-l + sf>
где и v, — не коррелированные между собой процессы белого шума.
Вторым исключением является ситуация, исследованная в работе Веста (West, 1988):
yt = а + pxt + un
где xt ~Д 1), E(Axt) = /и Ф 0 (так что ряд xt содержит и стохастический, и детерминированный тренды); ut ~ ДО) — стационарный ряд с нулевым средним, необязательно являющийся процессом белого шума.
В работе Веста доказывается асимптотическая нормальность соответствующим образом нормированной оценки наименьших квадратов для вектора (а, Р)Т. Если ряд ut не является процессом белого шума, то для применения этого результата необходимо скорректировать значения /-статистик, вычисляемых по стандартным формулам, соответствующим предположениям классической линейной модели регрессии.
В знаменателях обычных /-статистик для параметров а и /? стоят оценки
стандартных ошибок оценок аТ и J3T этих параметров, а именно: S4(XTX)~ — дляаг, SJ(XTXy2l — для/?г,
где X — (Т х 2)-матрица значений объясняющих переменных (1 и xt) в Т наблюдениях;
S2 — несмещенная оценка дисперсии ut в случае, когда ut ~ lid.,
1 т
S = ~2^Щ, ut=yt-a-Pxt.
Поскольку у нас не предполагается, что ut ~ lid., для сохранения /-распределения (точнее, распределения N(0, 1)) /-статистик (хотя бы при больших Т), требуется замена S2 на другую подходящую величину.
Мы предположили, что ряд ut стационарный и имеет нулевое математическое ожидание. Пусть yh = Cov(ut, ut+h). Вест показал, что подходящей является замена S2 долговременной дисперсией ряда ип
Я2 = hm Т • Var1 1 т
г->оо
= imTE
Ґщ + ... + ит ^
2
которая для стационарного ряда вычисляется по формуле
00
я2 = 2>„,
h = -оо
если ХЫ<С0/2 = -00
Проблема, однако, в том, что значение Л2 не известно, и его приходится оценивать по имеющимся наблюдениям. Для этого, в свою очередь, следовало бы оценить бесконечное множество автоковариаций yh, h = 0, ± 1, ± 2, что, конечно, невозможно. Из-за этого, в конечном счете, приходится так или иначе делать более определенные предположения о характере автокоррелированности ряда ип что дало бы возможность ограничиться при оценивании Л2 оценкой лишь конечного числа автоковариаций yh = Cov(un ut+h). В процессе такого оценивания приходится учитывать и то, что автоковариаций yh с возрастанием h оцениваются все менее точно, поэтому желательно регулировать (уменьшать) влияние yh на оценку долговременной дисперсии Л2 при возрастании h.
Уи
Если исходить из того, что случайный процесс ut можно представить в виде процесса MA(q) конечного порядка q, то тогда yh = О для | h > q, и можно не получать оценок yh для таких h. Это вместе с предшествующими соображениями приводит к оценке
д + 1
І2=І>0+2Х
h =
1 7
где yh=— —оценки автоковариаций yh.
Т t=h+l
При этом можно показать (см., например, (Hamilton, 1994, р. 513), что выбор q = 0(TV5) обеспечивает состоятельность такой оценки для Л2 (оценка Ньюи — Веста).
В рамках пакета EViews реализация такого метода производится без труда. Следует просто при спецификации уравнения заказать опцию: «вычисление стандартных ошибок методом Newey — West» (отметим, однако, что в этой опции используется несколько отличающаяся от приведенной оценка, реализующая еще и поправку на возможную гетероскедастичность ряда).
Если предположить, что динамика ряда ut хорошо аппроксимируется моделью авторегрессии AR(p) с конечным р,
ut = axut_x + a2ut_2 +... + aput_p + st, где st — инновационный процесс белого шума с D(st) = а2, тогда
Я2= ^ j-.
(У-ах-а2-...-ар)
Поэтому в такой ситуации в качестве оценки для Л2 естественно взять величину
где ах, а2,ар — оценки наименьших квадратов для ах, а2,ар; 1 Т
Т г,
1 -р t=p+
st — остатки при оценивании модели авторегрессии для ряда иг
В любом случае замена S2 на А2 равносильна умножению значения /-статистики, полученного обычным путем, на .
Л
ПРИМЕР 11.2.1
Смоделируем систему
DGP: yt = 2xt + ип
xt = 1 + xt_x + v„
где ut = 0.4ut_x + 0.2ut_2 + st — стационарный AR(2) ряд;
єп vt — гауссовские процессы белого шума, коррелированные в совпадающие моменты времени: Cov(sn vt) = 0.8.
 |
Оценивание статистической модели SM: yt = а 4J3xt + ut обычным методом наименьших квадратов дает результаты, представленные в табл. 11.32.
Если ориентироваться на приведенные значения статистик, то оба параметра оказываются статистически значимыми, хотя в DGP константа в уравнении для yt отсутствует. Ряд остатков (рис. 11.18) идентифицируется по коррелограмме как AR(2). Оцененная AR(2) модель приведена в табл. 11.33.
RESIDS
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 / Рис. 11.18
Отсюда находим оценку для Л:
Х- °-941891 =2 183
1-0.363522-0.205074 ' '
S L071 лит
так что — = = 0.491.
Л 2.183
Это приводит к следующим скорректированным значениям /-статистик и Р-значений:
ta: -2.313111 (Р-значение = 0.0228) -> -1.135738 (Р-значение = 0.2588);
tp 280.6336 (Р-значение = 0.0000) -> 137.791098 (Р-значение = 0.0000).
При использовании скорректированных значений постоянная в оцениваемом уравнении становится статистически незначимой. ■
Снимем теперь ограничение N =2 и будем интересоваться существующей и единственной (по предположению) долговременной связью между N нестационарными 7(1) рядами ylt9 ...9yNr
Оценивание статистической модели
приводит в этом случае к суперсостоятельным оценкам независимо от того, будут ли регрессоры иметь линейный тренд, если только в правую часть уравнения не включается тренд. Однако, как было отмечено выше, повышенная скорость сходимости по вероятности оценок коэффициентов к истинным значениям этих коэффициентов вовсе не предотвращает смещения оценок при небольшой длине ряда наблюдений. Многие авторы на основании результатов моделирования отмечали весьма значительное смещение оценок коэффициентов при небольших Т.
Как и в случае N =2, особое место в этом отношении занимает треугольная система Филлипса
Ум=с + ГгУъ+ — + ГиУт+£п
Ун = Уі,і-1 +£2f> yNt ~ Ум,і+ £Nf>
где et = (єХп є2п sNt)T — TV-мерный гауссовский белый шум, т.е.
€І9 єІ9 ... — последовательность независимых, одинаково распределенных случайных векторов, имеющих JV-мерное нормальное распределение с нулевым математическим ожиданием и ковариационной матрицей I = (o}j).
Случайные величины s2t, ..., sNt могут быть коррелированными между собой, но єи не коррелирована ни с одной из них (так что <7Xj = О для всех j = 2,N). В этом случае регрессоры^2/? —9Ут не коинтегрированы, и /?= (1, -у2, -fN)T— единственный коинтегрирующий вектор. Условное распределение
(с-с, Г2-Г2,..., ?м-Уц)Т\{Уъ>—>Уш> t = l,...,T}
является ТУ-мерным нормальным, с нулевым средним, так что F-критерии для проверки линейных гипотез о значениях коэффициентов с, у2, yN имеют точные F-распределения, а /-критерии — точные /-распределения. В общей ситуации пусть
Уи =с + Г2У2г+-+ ГмУт+ии>
У2г=У2,г-1+и2г> yNt = yN,t-l +UNt>
где ut = (uln и2п uNt)T — TV-мерный гауссовский стационарный векторный ряд (теперь уже необязательно Л^-мерный гауссовский белый шум).
Ряды и2п uNt могут быть коррелированнными между собой, но ряд ии не коррелирован с остальными рядами, так что Cov(uu, uks) = 0 при к Ф 1 для всех /, s. Последнее условие обеспечивает экзогенность переменных в правой части первого уравнения треугольной системы. (Гауссовость ряда ut означает, что совместное распределение значений ряда в любые Г различных моментов времени является ЛТ-мерным нормальным распределением.)
В такой ситуации для проверки линейных гипотез о коэффициентах можно использовать скорректированные Fи /-статистики с асимптотически оправданными Fи /-распределениями, предварительно заменив обычную
оценку S2 для дисперсии ии на состоятельную оценку Я2 «долговременной
дисперсии» Л2 ряда ии. Последнее соответствует умножению обычной FS2 S статистики на — и умножению обычной /-статистики на —.
Л Л Таким образом, проблема нестандартных распределений, по существу, связана с возможным нарушением экзогенности регрессоров j/2„ ...9yNt в первом уравнении треугольной системы.
Сток и Уотсон (Stock, Watson, 1993) и Сайконнен (Saikonnen, 1991) предложили процедуру устранения нежелательной корреляции, которая состоит в пополнении правой части первого уравнения треугольной системы запаздывающими (lags) и опережающими (leads) значениями приращений perрессоров. (Отсюда название метода — leads and lags1.) Именно вместо первого уравнения системы оценивается его расширенный вариант
р
y =c + y2ylt+... + YN yNt + YSPij ^2,t-j +-+ eNj ^Nj-J ) + Щ •
j=-p
Если значение p выбрано правильно (достаточно велико), то статистические выводы в отношении у2, yN можно проводить обычным образом (конечно, имея в виду асимптотическую оправданность соответствующих статистических процедур), но опять с использованием скорректированных значений обычных /и F-статистик, если ut не является белым шумом.
Предложенная процедура остается асимптотически оправданной и в случае, когда все или некоторые из рядов у2п yNt имеют детерминированный тренд.
Более того, дополнительных проблем не возникает и в случае, когда в правую часть первого уравнения треугольной системы добавляется линейный тренд и проверяется гипотеза о его значимости. Это позволяет проводить раздельную проверку гипотез о том, что:
а) Ум ~ УгУъ УкУхг не имеет детерминированного тренда;
б) Ум ~ УгУь " • • •" УиУт — стационарный ряд.
Заметим, что а) может выполняться при невыполненном б), если детерминированный тренд устраняется, а стохастический тренд остается.
ПРИМЕР 11.2.2
DGP: yt = 5+zt + un zt=zt_x +v„
где zx = 0;
ut = v, + 0.25у,_! +0.25v,+ 1 +0.1v,_2 +0.1v,+2 +0.1^; €nvt — не коррелированные между собой гауссовские процессы белого шума.
Здесь случайная величина ut коррелирована с v„ v,_1? v,+ 1, v,_2, vt+2, так что непосредственное использование стандартных статистических выводов неоправданно.
Обратимся к смоделированной реализации этого DGP (рис. 11.19 — 100 наблюдений). Оба ряда^ и zt идентифицируются по 100 наблюдениям как интегрированные ряды первого порядка. Рассмотрим эту пару в рамках треугольной системы Филлипса. Оценивание методом наименьших квадратов уравнения;/, = а + J3zt + rjt дает результат, представленный в табл. 11.34.
Этот метод известен также как DOLS (динамический OLS).
Проверять гипотезу Я0: /?= 1, используя обычный /-критерий, нельзя, если Corr(r/n Azs) Ф 0 хотя бы для одной пары значений /, s. Для выяснения вопроса о наличии или об отсутствии такой коррелированности обратимся к кросс
| коррелограмме, построенной для пары рядов еп | Az„ где et — | ряд остатков, | |
| полученный при оценивании уравнения^, = | a + j3zt + rjr | ||
| Included observations'. 96 | |||
| Correlations are asymptotically consistent approximations | |||
| e, AZ(-i) e, AZ(+i) | і | lag | lead |
| 0 | 0.9017 | 0.9017 | |
| 1 1* | 1 | -0.0217 | 0.0830 |
| 1 * 1 | 2 | -0.0956 | -0.0413 |
| 1 1 | 3 | 0.0064 | 0.0341 |
| *l 1 | 4 | -0.0510 | 0.0118 |
| * 1 | 5 | -0.0824 | -0.0228 |
| 1 1 | 6 | -0.0171 | 0.0150 |
| **i ** і | 7 | -0.1858 | -0.1579 |
| 1 1 | 8 | -0.0292 | -0.0272 |
| і* і* | 9 | 0.0833 | 0.0701 |
| 1 1 | 10 | 0.0125 | 0.0216 |
Левый график показывает поведение кросс-корреляций Corr(et9 Azt_t) для / = 0, 1, 2, значения этих кросс-корреляций приведены в графе «lag». Правый график показывает поведение кросс-корреляций Corr(en Az,+/) для і = 0, 1,2, значения этих кросс-корреляций приведены в графе «lead».
Объясняемая переменная У
На основании этой кросс-коррелограммы можно предполагать наличие ненулевых кросс-корреляций в DGP до 7-го порядка. В соответствии с этим добавим в правую часть оцененного ранее уравнения запаздывающие и опережающие разности переменной zt вплоть до 7-го порядка (табл. 11.35).
Ряд остатков не обнаруживает автокоррелированности: Р-значения критерия Бройша — Годфри равны 0.252 (при глубине запаздываний К = 1) и 0.427 (К = 2). Поэтому можно использовать для проверки гипотезы Н0: J3= 1 обычную /-статистику без коррекции стандартной ошибки; ее значение равно:
I=L000689-1 = 0.007818
так что гипотеза Н0: /3= 1 не отвергается.■
ПРИМЕР 11.2.2 {продолжение)
Изменим теперь DGP так, чтобы слева и справа в первом уравнении стояли 7(1) ряды с линейным трендом.
DGP: yt = 5+xt +ип
xt = 1 + v„
где хх = 0, а ип v, — те же, что и ранее.
Смоделированная реализация этого DGP приведена на рис. 11.20.
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 t Рис. 11.20
Результаты оценивания уравнения регрессии yt = а + /?х, + rjt приведены в табл. 11.36.
Кросс-коррелограмма ряда остатков от оцененного уравнения и приращений ряда xt имеет вид, аналогичный предыдущей коррелограмме. Поэтому опять переходим к оцениванию расширенного уравнения, дополненного 7 запаздывающими и 7 опережающими разностями. Результаты оценивания приведены в табл. 11.37.
В ряде остатков и здесь не обнаруживается автокоррелированности, так что можно использовать для проверки гипотезы Н0: J3= 1 обычную /-статистику без коррекции стандартной ошибки. Ее значение равно:
(-1Л0ОЮ1-1
0.00520
гипотеза Я0: /3= 1 не отвергается.
Объясняемая переменная У
Включим в правую часть оцениваемого уравнения еще и тренд (табл. 11.38).
Гипотеза HQ: j3= 1 не отвергается и для переменных, очищенных от тренда. Коэффициент при трендовой переменной статистически незначим. Полученные результаты указывают на то, что мы имеем дело с детерминистской коинтеграцией. ■
ПРИМЕР 11.2.3
Рассмотрим следующий DGP:
Wt = 5 + / + rwn
Vt = 1 +t + 0.5rwt + 0.1и2„
где rwt = rwt_x + 0.5иЗ, — случайное блуждание без сноса;
п2п n3t — некоррелированные гауссовские процессы белого шума с единичной дисперсией.
Смоделированная реализация показана на рис. 11.21.
Оцениваем статистическую модель Vt = а + j3Wt + rjt (табл. 11.39).
Ряд остатков (рис. 11.22) идентифицируется как интегрированный (статистика Дики — Фуллера равна -2.22 при 5\%-м критическом значении -3.46), так что ряды Vt и Wt не являются детерминистски коинтегрированными. Близость к 1 оценки коэффициента J3 соответствует равенству угловых коэф
фициентов детерминированных трендов, входящих в состав рядов Vt и Wt. Ряд (Vt Wt) не имеет выраженного детерминированного тренда, и его график отличается от ломаной, представленной на рис. 11.22, практически только сдвигом.
Добавим в правую часть оцениваемого уравнения трендовую составляющую (табл. 11.40).
Теперь ряд остатков (рис. 11.23) идентифицируется как стационарный (статистика Дики — Фуллера равна -7.09). Кросс-коррелограмма ряда остатков и приращений ряда Wt имеет вид:
| е, W_DIF{-i) | е, W_DIF(+i) | і | lag | lead |
| | | | | 0 | 0.0353 | 0.0353 |
| | | 1* | 1 | -0.0237 | 0.1217 |
| * | | | 2 | -0.0846 | 0.0115 |
| | | * 1 | 3 | 0.0052 | -0.1083 |
| *1 | 1* | 4 | -0.0776 | 0.1174 |
| 1* | 1* | 5 | 0.1352 | 0.1018 |
| і** | | | 6 | 0.1986 | 0.0347 |
| 1* | ** | 7 | 0.1093 | 0.1669 |
| **| | 1* | 8 | -0.1751 | 0.0614 |
| **| | **** і | 9 | -0.2456 | -0.3565 |
| 1* | * 1 | 10 | 0.1177 | -0.0421 |
Она указывает на то, что здесь для пополнения оцениваемого уравнения достаточно ограничиться включением в правую часть 9 запаздывающих и опережающих разностей ряда Wt.
Оценивая пополненное уравнение, получаем новые значения коэффициентов при тренде и Wt (табл. 11.41).
При этом гипотеза гауссовского белого шума для ряда остатков не отвергается. Это означает, что здесь имеем дело со стохастической коинтеграцией. В рамках расширенной модели не отвергается гипотеза о равенстве 0.5 коэффициентов при тренде и Wt.
График ряда Vt 0.5/ 0.5^ приведен на рис. 11.24, и этот ряд идентифицируется как стационарный.
Подведем итог. Ряд Vt Wt не имеет выраженного детерминированного тренда, но имеет стохастический тренд. Ряд Vt 0.5 Wt (график этого ряда представлен на рис. 11.25) имеет выраженный линейный тренд, но не имеет стохастического тренда.
 |  | ||
Vt-Q.5t-Q.5Wt = (1 + / + 0.5ги>, +0.1л2,)-0.5/-0.5(5 + / + ги> ) = = -1.5 + 0.1л2,.И
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
Что называется рангом коинтеграции? Что называется коинтеграционным пространством?
Пусть коинтегрированная система 7(1) рядов уи, yNt имеет ранг коинтеграции г и может быть представлена в форме VAR(p). Как выглядит в этом случае модель коррекции ошибок для этой системы? Единственно ли представление указанной системы в форме модели коррекции ошибок?
Что представляет собой треугольная система Филлипса как представление коин-тегрированной системы 7(1) рядов? Как используется эта система для получения оцененной модели коррекции ошибок?
Как производится оценивание статистической модели
Уи =с + Г2Уъ++ ГмУю+Ч
при наличии единственной долговременной связи между N нестационарными 7(1) рядами уи, ...9yNt (треугольная система Филлипса, метод leads and lags)?
Тема 11.3
оценивание ранга коинтеграции и модели коррекции ошибок методом йохансена
Оценивание ранга коинтеграции
Пусть 7(1) ряды уи,yNt в совокупности образуют векторный ряд
Уі = (Уі»->Ут)Т> который следует модели векторной авторегрессии VAR(/?)
meA(L) = A0-AlL-...-ApLP;
A09Al9...9Ap — матрицы размера (Nх TV); А0 = IN (единичная матрица),
т.е.
Уг = М + АУг-1 + • • • + АрУ,_р + €t.
Путем алгебраических преобразований эту модель можно представить также в виде:
Ду, = /л + СоУг-і + Сх А)>,-1 + • • • + Cp-i АУг-Р+1 + £t >
где & =Ax + ...+Ap-IN9
Ck = -(Ak+i + •••+Лр)9 k=9 29 ...9 p-l.
Заметим, что
£0=Al+...+Ap-IN = A(l),
так что rank <^0 = rank A(l).
Как было отмечено выше, если ряды уш yNt коинтегрированы, то матрица А() имеет пониженный ранг (rank А() <N). Этот же пониженный ранг в данном случае будет иметь и матрица В общем случае, ранг матрицы может принимать значения г = rank £о = 0, 1,N:
значения г = 1, N 1 соответствуют коинтегрированной VAR (ряды Уи* ->Ут ~ ДО коинтегрированы);
если г = 0, то ряды у1п jy^, we коинтегрированы;
если г = N9 то любой TV-мерный вектор является коинтегрирующим, так что коинтегрирующими будут, например, векторы (1, 0, 0)г, (О, 1, 0)г, (О, 0, 1)г. Но это означает, что все ряды уш yNt являются стационарными.
Ранг матрицы г = rank обычно называют рангом коинтеграции рассматриваемой системы рядов уи,yNt независимо от того, имеет ли место действительная коинтеграция этих рядов.
Выяснение ранга коинтеграции является ключевым моментом в построении ЕСМ — модели коррекции ошибок по наблюдаемым статистическим данным. Один из возможных путей решения этой задачи был предложен Йохансеном (Johansen, 1988; 1991). Изложение этого метода требует перехода к более высокому математическому уровню. Поэтому, не выходя слишком далеко за принятую планку строгости и детальности изложения, дадим здесь только самое общее представление об этом методе.
Как уже говорилось, если коинтегрированная система 7(1) рядов yU9 ...9yNt может быть представлена в форме VAR с rank Д1) = г, то существует соответствующее представление VAR в форме ЕСМ. Исходя из этого Йохансен в качестве отправной точки берет представление
Ду, = р + СоУ,-х + САУі-і + • • • + Cp-Ayt-p+i + £t
с матрицей
Со = <*РТ,
где а и р — (N х г)-матрицы полного ранга г.
При этом столбцы /?(г) матрицы р являются линейно независимыми
коинтегрирующими векторами, а элементы матрицы а — коэффициентами при стационарных линейных комбинациях
Z,tР{)Уі-* Zr,t-= Р{г)Уі(представляющих отклонения от г долговременных соотношений между рядами^,, ...9yNt в правых частях уравнений для Ауи,AyNt).
В процедуре Иохансена предполагается, что st — TV-мерный гауссовский белый шум. Таким образом случайный вектор st = (єи9 sNt)T имеет TV-мерное нормальное распределение с нулевым средним и ковариационной матрицей Cov(st) = Q, и Cov(skn €js) = О при t Ф s для всех к9 j = 1,TV.
Прежде чем применять процедуру Иохансена, следует определиться с порядком р векторной авторегрессии, которой следует векторный ряд. Для этого можно использовать стандартные tи F-критерии (с асимптотическим TV(0, 1) распределением для /-статистик и асимптотическими х1 распределениями для qF) и, применяя их к VAR в уровнях, порядок которой взят «с запасом», понизить по возможности порядок этой «избыточной» VAR. Заметим в связи с этим, что процедура Иохансена достаточно чувствительна к выбору порядка VAR, в рамках которой эта процедура реализуется.
Сама процедура начинается с того, что по имеющимся наблюдениям значений^,, ...9yNt9 t=l9Г, вычисляются максимумы логарифмических функций правдоподобия Z,(Q, ju9 £09 С,Х9 £ х) для неизвестных параметров Q, /и9 £09 £{9£ х при различных предположениях о ранге коинтеграции г. С точностью до слагаемых, одинаковых при различных г, эти максимумы равны:
A»«W = -^5>(i-<U r = i,...,N,
где ЛІ9XN — некоторые величины, вычисляемые на основе одних только статистических данных без всяких предположений о ранге коинтеграции, 1 > Хх > ... > XN > 0.
Сравнивая значения Lmax(r)9 полученные при различных г, можно отдать предпочтение той или иной гипотезе об истинном ранге коинтеграции. Для формализации соответствующего решения в виде некоторой статистической процедуры можно использовать известный из математической статистики критерий отношения правдоподобий.
Пусть в качестве исходной (нулевой) выступает гипотеза Н0: г = г 9 а в качестве альтернативной — гипотеза НА: г г + 1. Для проверки гипотезы Я0 сравниваются значения:
А™('*) = ~І>(і-я»)
^ / = 1
и
^(r+l) = ~ Sln(l-i,.).
Z / = 1
Критерий максимального собственного значения {maximum eigenvalue test) основывается на статистике
Лтт(Г') = 2( W* + 1) " Anax(O) = "|ln(l ).
Асимптотическое (при Т -> оо) распределение этой статистики при гипотезе Н0 зависит от г и N. Для него рассчитаны соответствующие таблицы (см., например, (Patterson, 2000, табл. 14.3—14.7), (Enders, 1995, табл. В) или (Hamilton, 1994, табл. В.11)).
* А А
Если гипотеза Н0: г = г верна, то значения Ar*+i> Ям близки к нулю. Если верна альтернативная гипотеза, то значение Яг*+{ отделено от нуля, и значения статистики Ятах(г) смещаются в сторону больших положительных значений. Поэтому гипотезу Н0: г = г следует отвергать в пользу гипотезы НА г = г + при больших положительных значениях статистики Лтах(г*)9 превышающих соответствующий критический уровень.
Пусть теперь в качестве исходной (нулевой) опять выступает гипотеза Н0: г г*, но в качестве альтернативной берется гипотеза НА г> г . Для проверки гипотезы Н0 сравниваются значения:
*
Обсуждение Эконометрика Книга первая Часть 2
Комментарии, рецензии и отзывы