Тема 8.2 динамические модели. векторная авторегрессия
Тема 8.2 динамические модели. векторная авторегрессия
Модели с авторегрессионно распределенными запаздываниями (динамические модели)
В эконометрических исследованиях среди различных ARX моделей широко применяются динамические модели (модели с авторегрессионно распределенными запаздываниями, autoregressive distributed lag models — ADL). Для такой модели используют обозначение ADL(p, г; s):
yt = a0 + axyt_x + a2yt_2 +... + apyt_p +
+ (Ao*i, г+АЛ,м++ АЛг-г) + ",+
+(А<л. t + Ал. ,-!+••• + Ал, t-r
где p — глубина запаздываний по переменной^;
г —глубина запаздываний по переменным xu, xlt, хм, не являющимся запаздываниями переменной^,; s — количество таких переменных.
При такой форме записи допускается, что некоторые из коэффициентов ptj равны нулю, так что глубина запаздываний может быть различной для разных переменных xir
Модель ADL(p, г; s) можно представить в компактном виде:
a(L)yt = /и + Ъх(L)xx,+... + bs(L)xs t+et9
где
a(L) = l-axL-a2L2 ...-apLp9
bt(L) = До + finL + + A>£r> * =
Если выполнено условие стабильности, Toyt представляется в виде:
a(L) a(L) a(L) a(L)
или
Уг =-J7zM + cx{L)xu +... + cs(L)x
a(L) a{L)
где
a(L)
Долговременную связь между переменными можно найти, полагая L = 1 и st = 0 в выражении для уг При этом получим
У г = -^7 М + с 0)хи,+...+ cs (1)х ,.
а()
Строго говоря, в последнем выражении указание на момент t следует исключить:
У = -^гМ + Сі(і)х +... + сД1)х,. а()
Коэффициенты сх(), с5(1) в последнем соотношении называются долгосрочными мультипликаторами (long-run multipliers, equilibrum multipliers). Поясним это название на примере модели ADL(1, 1; 1), которую запишем в виде:
(1 axL)yt =p + /30xt+ pxxt_x + et. При ax < 1 получаем равносильное представление
Уг = п 1 гч м + п 1 гч (Л)*, + А*м + *г X
т.е.
^ =(1 + ^ + 6^ +...)ju + (l + axL + axL2 + ...) (/?0х, + Дхм +£,), из которого последовательно находим:
дх,
ОХ, ОХг_!
dx, oxt_2 oxt dxt_3
и т.д. Правые части дают значения импульсных мультипликаторов (impact multiplier, short-run multiplier), показывающих влияние единовременного (импульсного) изменения значения х, на текущее и последующие значения переменной 7,. Просуммировав полученные выражения, получим
dxt dxt_x dxt_2 dxt_3
= /30(1 + а{ +ax2 +---) + Д(1 + «і +«i2 + •••) =
= (i-a1r1(A+A).
Как легко заметить, правая часть этого соотношения представляет собой долгосрочный мультипликатор рассматриваемой ADL(1, 1; 1). В соответствии с левой частью этот мультипликатор показывает изменение значения yt при изменении на 1 текущего и всех предыдущих значений переменной хг
Прежде чем рассмотрим пример оценивания конкретной ADL модели, заметим следующее.
При выполнении условий, обеспечивающих возможность использования стандартной техники регрессионного анализа (имеется в виду ее асимптотическая обоснованность — см. тему 2.1, ситуация F):
обычная /-статистика имеет асимптотическое N(0, 1) распределение;
если F — обычная F-статистика для проверки гипотезы о выполнении q линейных ограничений на коэффициенты модели, то статистика qF имеет асимптотическое ^-распределение с q степенями свободы;
при умеренном количестве наблюдений параллельно с асимптотическими распределениями для t к qF можно для контроля использовать и точные (стандартные) распределения (распределение Стьюдента для /-статистики, распределение Фишера для F-статистики). Согласованность получаемых при этом результатов подкрепляет уверенность в правильности соответствующих статистических выводов;
при наличии в правой части запаздывающих значений объясняемой переменной проверку гипотезы об отсутствии автокоррелированности у ряда st следует производить, используя критерий Бройша — Годфри. Критерий Дарбина — Уотсона не годится для этой цели, поскольку в данном случае значения статистики Дарбина — Уотсона d смещены в направлении значения d = 2, так что использование таблиц Дарбина — Уотсона приводит к неоправданно частому неотвержению указанной гипотезы («презумпция некоррелированности £,»).
ПРИМЕР 8.2.1
Рассмотрим модель ADL(3, 2; 1):
(1 0.5L 0.1L2 0.05L3)^ = 0.7 + (0.2 + 0.1L + 0.05L2)x, + er
Для нахождения долговременной связи между переменными у их полагаем L = 1 и et = 0: (1 0.5 0.1 0.05);; = 0.7 + (0.2 + 0.1 + 0.05)х,
т.е. 0.35.У = 0.7 + 0.35х, или у = 2 + х.
На рис. 8.1 представлены смоделированная реализация ряда х, = 0.7х,_! + єхп sxt ~ U.d.9 N(09 1), и соответствующая ей реализация ряда jy„ порождаемого указанной моделью ADL(3, 2; 1), где et ~ u.d.9 N(09 1), причем ряд st порождается независимо от ряда єХҐ В качестве начальных значений при моделировании были взяты: X! =09у{ =у2=у3 = 0.
Если в распоряжении только эти две реализации, неизвестно, с какой моделью имеем дело. Начнем с оценивания статической модели yt = /л + J3xt + et методом наименьших квадратов, в результате получим оцененную модель yt = 1.789 + 0.577х, + еп где et — ряд остатков. График ряда остатков показан нарис. 8.2.
 | |||
 | |||
| ACF | PACF | к | AC | РАС | g-статистика | Р-значение |
| |***** | ***** | 1 | 0.696 | 0.696 | 49.981 | 0.000 |
| |**** | I* | 2 | 0.536 | 0.099 | 79.868 | 0.000 |
| |*** | * | 3 | 0.364 | -0.081 | 93.801 | 0.000 |
| Г* | I | 4 | 0.227 | -0.056 | 99.279 | 0.000 |
| I* | I | 5 | 0.130 | -0.015 | 101.100 | 0.000 |
| I | I | 6 | 0.057 | -0.020 | 101.460 | 0.000 |
а также критерием Бройша — Годфри с запаздыванием на один шаг, который дает Р-значение 0.0000. Это означает, что мы имеем дело не со статической, а с динамической моделью. Поэтому следует прежде всего рассмотреть характер поведения обоих рядов и произвести их идентификацию.
Так что и этот ряд идентифицируется как AR(1).
Такой предварительный анализ ограничивает рассмотрение моделью ADL с глубиной запаздываний, равной 1:
Уг = М + <*Уі-і + Ал + А*м + *г
Результаты оценивая такой модели ADL(1, 1; 1) приведены в табл. 8.1.
Анализ остатков не выявляет автокоррелированности (Р-значение критерия Бройша — Годфри при AR(1) альтернативе равно 0.164), не выявляет значимых отклонений от нормальности распределения st (Р-значение критерия Харке — Бера равно 0.267), не обнаруживает гетероскедастичности (Р-значение критерия Уайта равно 0.159), так что можно, опираясь на приведенные выше факты, использовать асимптотическую теорию статистических выводов и на ее основе использовать результаты, получаемые при применении tи F-критериев.
При проверке гипотезы #0: /?0 = fix = 0 получаем при использовании F-pac-пределения Р-значение = 0.0032, при использовании асимптотического распределения i?^2(2) получаем F-значение = 0.0022. В обоих случаях эта гипотеза отвергается. Исключение из правой части модели запаздывающей переменной xt_l9 коэффициент при которой статистически незначим и имеет большее F-значение, чем коэффициент при х„ дает результаты, приведенные в табл. 8.2.
Здесь все коэффициенты имеют высокую значимость, а остатки вполне удовлетворительны.
Если из предыдущей модели исключить не xt_l9 axt9 то это приводит к оцененной модели (табл. 8.3).
Таблица 8.3
По критерию Шварца чуть более предпочтительной выглядит модель с исключенной xt_l9 так что на ней можно и остановиться. Посмотрим, к какому долговременному соотношению приводит такая модель.
Итак, останавливаемся на оцененной модели
(1 0.720L)yt = 0.518 + 0.310*, + ег Заменяя здесь оператор L единичным оператором и полагая et = 0, получаем: 0.28у, = 0.518 + 0.310х„ так что долговременное соотношение оценивается как
у = 1.839+ 1.107*.
Это соотношение, конечно, несколько отличается от теоретического. Посмотрим, однако, что дало бы оценивание динамической модели ADL(3, 2; 1) (табл. 8.4).
Если найти долговременное соотношение между у и х на основе такого оцененного уравнения по той же схеме, что и прежде, получим
у= 1.882 + І.ЗООх,
и это соотношение отнюдь не ближе к теоретическому, чем то, которое было получено по редуцированному уравнению. Впрочем, и по критерию Шварца полная оцененная модель хуже редуцированной. ■
Векторная авторегрессия
Популярной моделью связи между временными рядами является векторная авторегрессия (VAR — vector autoregressiori).
В своей простейшей форме такая модель связывает два ряда^, ny2t следующим образом:
уи=М +*ил J>u-i y2,t-i
У It = Ml + ^21.1 У,і+ ^22.1 Уі,і+ Є2п
т.е. в отличие от простого процесса авторегрессии значение уи связывается не только с запаздыванием ух Nl, но и с запаздыванием y2i t-i второй переменной у2г Случайные величины єи и e2t являются инновациями:
Cov(sJt9 sls) = 0 дляґ^5 при любыху, /=1,2;
Cov(ejn ylt t_r) = 0 для г > 1 при любых у, / = 1,2.
В то же время для совпадающих моментов времени случайные величины еи и s2t могут быть коррелированными.
Модель векторной авторегрессии для двух рядов допускает включение в правые части уравнений для ^и и_у2, и большего количества запаздываний этих переменных. Наибольший порядок запаздываний, включаемых в правую часть, называется порядком векторной авторегрессии. Если этот порядок равен р, то для такой модели используют обозначение VAR(p) (pth-order VAR).
В общем случае рассматривается к временных рядов у1п у2п укг Модель векторной авторегрессии порядка р предполагает, что связь между этими рядами имеет вид:
У U =М + *11.іДм + *11.2 Д/-2 +••• + *! 1.рДг-р +
+ ^12.1 Дм + ^12.2 Д/-2 + • •' + ^12.р Д/-р + + ••• +
+ *1кЛ ДМ + Пк.2 Д/-2 + • • • + Пк.р Ук^-р + ЄЬ у
y2t=Ml + ^21.1 Дм +^21.2Д/-2 + -" + >Г21.рДг-/> +
+ ^22.1 Дм + ^22.2 Д/-2 + • • • + Я22.рУи-р + + ••• +
+ Я"2Ы Дм + ^2*.2 Д/-2 +-~ + K2ktpykft_p +Є2п
Уь=Мк +*клУи-і +лк2Уи-г + — + лк.рУи-р +
+ Пк2. Дм + ^2.2 Д/-2 + • • • + Пк1.рУі*-р + + ••• +
+ пкк.Ук^+ пккіУк^-2 + • • • + пкк.рУк,і-Р + 8kf> где nijr — коэффициент при^у t_r в уравнении дляд,. Здесь £и, є2п skt — случайные величины, для которых
Cov(ejn els) = 0 для t Ф s при любых у, / = 1,к;
Cov(sjnyl t_r) = О для г > 1 при любых у, / = 1,к;
Cov(sjn slt) могут отличаться от нуля.
Случайные величины єи, є2п skt образуют случайный вектор st = = (є1п є2п skt)T, компоненты которого не коррелированы по времени и не кор-релированы с запаздывающими значениями переменных у1м у2п ykt. Этот вектор называют вектором инноваций (обновлений) относительно информационного множества
Уі= (УU М 9 Д t-2 9 • • 9 Д 9 • • • 5 Д » Д /-2 > • • • » Д /-/7 )'
ПРИМЕР 8.2.2
Рассмотрим следующую модель VAR(l) для двух рядов (к = 2,р = 1): уи = 0.6 + 0Луиі_х + 02yXt_x + єи, У ъ = OA + 0.2^,.! + 0Лу2^_х + є2п
Поведение смоделированной пщ>ыуХпу2п порождаемой этой моделью для / = 2, 3, 100, показано на рис. 8.3. В качестве начальных значений были взяты^п -у2Х 0; sXt и slt моделировались как независимые случайные величины, имеющие одинаковое нормальное распределение N(09 0.12).
 |
Предсказать стабильный характер поведения реализаций рядов, связанных VAR моделью, можно, проанализировав коэффициенты модели. Для этого удобно записать VAR(p) модель для к рядов в более компактной форме:
У и = ПіУі-і + П2у{_2 + ... + Upyt_p + єг
Здесь
Уг =(Уи>У2і>--->Уіа)Т> М = (Мі,М2>--->Міс)Т> £t=(£u>£2t>--->£kt)T>
Tlr = (Яу r) — матрица размера (к х к) коэффициентов приyh t_r, у2^ t_r, ..., ук t_r в к уравнениях.
Последнее представление можно записать как
Уг niJVi " П2^_2 Tlpyt_p =р + єп
(Ik-nxL-n2L2-...-npU)yt=v + sn
или
A(L)yt = /и + є„
где
A(L) =ІкUXL Tl2L2 TlpLp.
Условие стабильности такой VAR модели состоит в следующем:
• все к корней уравнения
detO^-zri! -z2n2 ...-zpTlp)=0 (t.e.det^(z) = 0)
лежат за пределами единичного круга на комплексной плоскости (т.е. модули всех к корней больше 1).
Если это условие выполняется, то при продвижении вперед по оси времени система постепенно «забывает» о том, при каких исходных значениях УиУг* —>Ур она началареализовываться. Стабильное состояние системы находится путем приравнивания L = 1 и et = 0. При этом получим
А()Уі=И,
так что стабильное состояние определяется как
у,=А-\)ц.
ПРИМЕР 8.2.3
Продолжим рассмотрение модели VAR(l) для двух рядов: уи = 0.6 + 0.7 + 0.2^,_, + еи, y2t = 0.4 + 0.2yut_l + 0.7j2j,_! + є2„ В компактной форме эта система имеет вид:
у, = їі + ПіУ,-і +£„
где
У,=
0.4
П,=
'0.7 0.2^ 0.2 0.7
S2tJ
или
где
-0.21 1-0.71
так что
A(l) =
4-0.2 0.3^ Уравнение det A(z) = 0 принимает здесь вид:
ft
4^ 6
det A(z) =
-0.1z -0.2 г -0.2 г 1-0.7*
= 0,
т.е. (1 0.7z)2 (0.2z)2 = 0, или (1 0.9z)(l 0.5z) = 0. Оба корня z = 1/0.9 и z = 1/0.5 больше 1, т.е. условие стабильности выполняется.
Долгосрочное (стабильное) состояние системы находим по формуле
у, = А-1(1)М =
6 4 4 6
0.6 0.4 '5.2' 4.8
Таким образом, стабильное состояние системы определяется здесь как
7,, = 5.2, у2,=4Л, так что стабильное состояние разности {уи -y2t) есть
У{-у2 = 0Л.
Соответственно с течением времени независимо от начальных условий ряд уи станет осциллировать вокруг уровня 5.2, а ряд у2, — вокруг уровня 4.8; разность (yit -y2t) осциллирует вокруг уровня 0.4. Именно такое поведение смоделированных реализаций рассматриваемой VAR(l) и наблюдалось ранее.!
Векторные авторегрессии, определенные так, как было указано выше, называют также замкнутыми VAR {closed VAR), отличая тем самым эти модели от открытых VAR {open VAR), в правые части которых наряду с запаздывающими значениями переменных, находящихся в левых частях уравнений (эндогенные переменные — endogenous variables), входят некоторые другие переменные и их запаздывания (экзогенные переменные — exogenous variables).
Проводя различие между эндогенными и экзогенными переменными, по существу, предполагают, что значения экзогенных переменных формируются вне рассматриваемой системы, а значения эндогенных переменных порождаются в рамках этой системы. Фактически в этом случае система рассматривается как условная по отношению к экзогенным переменным. Заметим, что в замкнутой VAR экзогенные переменные отсутствуют.
Открытую VAR можно представить в виде:
A(L)yt=;u + B(L)xt+€n
где А(Ь) и B(L) — матричные полиномы,
A(L) = I U{L Tl2L2 -... UpLp.
Если все решения уравнения det^4(z) = 0 лежат за пределами единичного круга на комплексной плоскости, что необходимо для обеспечения стабильности системы, то справедливо также представление
yt=A-L)v + C(L)xt+A-L)sn
где C(L) = A~l(L)B(L) — передаточная функция (transfer function);
C(L) — матричная функция, она устанавливает влияние единичных изменений в экзогенных переменных на эндогенные переменные.
Долговременную (долгосрочную, стабильную — long-run) связь между экзогенными и эндогенными переменными можно найти, если в последнем представлении положить L = 1 и et = 0. При этом получаем
yt=A-l(l)fi + C(V)xr
Матрица С(1) называется матрицей долгосрочных мультипликаторов.
Ее (/, у)-й элемент су() представляет влияние единичного изменения переменной xjt nayit в долгосрочном плане.
ПРИМЕР 8.2.4
На базе рассмотренной выше замкнутой модели VAR(l) для двух рядов построим открытую VAR:
уи = 0.6 + 0Лу{ t_{ +0.2<y2j,_1 +0.1xu_1 + 0.2х2, + єи,
y2t = 0.4 + 0.2yht_{ + 0.7y2ft_{ + 0.2* u + 0AxXt_x + є2п
 |
так что
0.1 0.2
5(1) = В0+В1 =
,0.2 0.4^
| Г6 41 | Гол | 0.2' | Л .4 2.8" | |
| ,4 6у | ,0.2 | 0.4, | Л.6 3.2, |
Матрица долгосрочных мультипликаторов равна C(l) = A-i(l)B() = так что стабильное решение есть
| Л .4 2.8' | V | ||||
| + | |||||
| ,4-8, | Л.6 3.2J | X2J |
т.е.
^ =5.2 + 1.4jc! +2.8х2,
j;2 =4.8+ 1.6*! +3.2х2.
Ниже приведены графики смоделированных реализаций этой открытой системы в случае, когда хи и x2t — независимые друг от друга AR(1) ряды:
хи = 0JxUt_{ + vln xlt = 0.5х2>/_! + v2,; vu и v2, lid. 7V(0, 1). В качестве начальных значений при моделировании взяты
вариант 1: хп -х1Х = 0, уп -у1Х = 0 (рис. 8.5),
вариант 2: хп =х21 = 0, уи = 5.2, j>21 = 4.8 (рис. 8.6).
 |  |
Рассмотрим следующую замкнутую VAR(1) для двух переменных: Я» = 0-8;Vi, ,-1+0.2;^ ,_, + *,,, y2t = 0.2yl<t_l+0.Sy2j_l + £2l.
Для этой системы
 |
так что
При этом
+
(Уи]
кУ2г;
0.81 0.2Z
0.2L 0.8L__ '1-0.8L -0.2ІЛ
-0.2L 1-0.81 f 0.2 -0.2Л
A() =
-0.2 0.2
определитель этой матрицы равен нулю, и матрица^ *(1) не определена. Уравнение det A{z) = 0 имеет здесь вид (1 0.8z)2 (0.2z)2 = 0, т.е.
(1 -z)(l -0.6z) = 0.
Корни этого уравнения равны — и 1. Наличие корня, равного 1, нарушает
0.6
 |
Здесь стабилизация системы не наблюдается. Можно предположить, что это происходит из-за неудачного выбора начальных значений уп = у2Х = 0. Перемоделируем реализации, полагая начальные значения приблизительно равными наблюдаемому «конечному» уровню: уи = у21 5. Новые реализа
 |
ции представлены на рис. 8.8. Они по-прежнему не стабилизируются, и это отражает фундаментальное отличие рассматриваемой нестабильной модели VAR от стабильной.
Некоторые частные случаи динамических моделей. Проблемы, возникающие при выборе динамической модели на основании имеющихся статистических данных
Чтобы не загромождать изложение, ограничимся рассмотрением моделей, входящих в качестве частных случаев в модель ADL(1, 1; 1)
yt=M+аУі+ Ал + А*м + et •
Эти частные случаи, несмотря на свою простоту, дают схематические представления девяти широко используемых типов моделей.
Различные типы моделей соответствуют различным ограничениям на вектор коэффициентов в = (аи Д0, Д). При наличии двух ограничений говорят об однопараметрической модели, а при наличии одного ограничения — о двухпараметрической модели. Полная модель ADL(1, 1; 1) является трехпараметрической. Рассмотрим девять различных типов моделей.
1. Статическая регрессия (ах = Д = 0):
yt=jU + /10Xt + Sr
Здесь на значение yt влияет только значение xt в тот же момент времени, предшествующие значенияyt_x nxt_x не влияют над>,.
Эта модель обычно не характерна для данных, получаемых последовательно во времени, поскольку в таких ситуациях, как правило, случайные величины st автокоррелированы.
Процесс авторегрессии (Д0 = Д = 0):
Уі = м+аУг+ sr
Здесь значение^, зависит только от значенияyt_l9 значения переменной xt в моменты t и (t 1) не влияют науг
Подобные ситуации затрудняют экономический анализ и проведение соответствующей экономической политики из-за того, что в этом случае нет «управляющей» переменной, значения которой можно было бы устанавливать принудительно с целью «управления» значениями переменной уг
Модель опережающего показателя (а{ = Д0 = 0):
yt=/u + pxxt_x + sr
Такие модели можно использовать для прогнозирования, если изменения показателя у следуют с запаздыванием за изменениями показателя х с достаточной надежностью. Однако при отсутствии серьезных теоретических оснований коэффициент Д вовсе не обязан быть постоянным. В последнем случае это может приводить к некачественным прогнозам, особенно в периоды структурных изменений, когда хороший прогноз особенно необходим. Кроме того, не видно каких-то особых причин для исключения из правой части запаздывающих значений переменной у.
Модель скорости роста (а{ = 1, Д = -Д0):
kyt = ju + pQbxt+sr
Здесь А = 1 L, так что Ay, =yt -у{_{, Axt = xt xt_x. Эта модель соответствует модели статической регрессии, но не для рядов в уровнях, а для рядов в разностях (для продифференцированных данных). Однако переход к рядам разностей оправдан только в том случае, если исходные ряды имеют стохастический тренд и не коинтегрированы. Об этом подробно будем говорить ниже, а пока укажем только на то, что при неоправданном переходе к рядам разностей теряется информация о характере долговременной экономической связи между рядами в уровнях.
Модель распределенных запаздываний (>/, = 0):
yt = jU + PoXt + ftxt_l + er
Эта модель не содержит в правой части запаздываний переменной у. Она страдает теми же недостатками, что и статическая регрессия, но к ним может добавиться также проблема мультиколлинеарности переменных xt и xt_x.
Модель частичной корректировки (Д = 0):
Я = іК + ЯіЯ-і+А*/ + *г
Она не содержит в правой части запаздывающих значений переменной х. К такой модели приводят, например, следующие соображения.
Пусть у* = а + Дс, — целевой уровень переменной у, а фактически приращение Ay, =yt-yt_x описывается моделью
У<-У<-і = (1-Л)(у;-Уг-і) + Єп 0<Я<1,
т.е.
yt = (l -Л)уї + Лу,_1 + єп
так что с точностью до случайной ошибки et текущее значение yt равно взвешенному среднему целевого у* и предыдущего значения переменной у. (Например, yt — уровень запасов, xt — уровень продаж.) Тогда
yt=yt_x + (l -X)(a + j3xt-yt_x) + st = (l -Л)а+Ау,_х + (1 -X)fixt+et9
или
yt = ju + axyt_x+fi0xt+sn
где// = (1-Я)а, ах = Я, Д0=(1-А)Д
Во многих случаях вывод подобных уравнений приводит к автокоррелированным ошибкам, а игнорирование xt_ х часто порождает оценку коэффициента ах, существенно отличающуюся от оценки ах в полной модели.
Фальстарт, или приведенная форма (Д0 = 0):
yt = /u + axyt_x+pxxt_x + sr
К такой модели можно прийти, например, если xt = Ях{_х + иг Тогда подстановка выражения для xt в полное уравнение ADL(1, 1; 1) дает
yt = ;u + axyt_x + Дх, + pxxt_x + st = ju+ axyt_x + (ДА + Д) xt_x + (et + ДиД или
yt = ju + axyt_x+pxxt_x^s*.
По одному последнему уравнению (приведенная форма исходного уравнения) невозможно восстановить значения Д0 и Д, не зная значения А. Таким образом, можно оценить коэффициенты приведенной формы, но не коэффициенты структурной формы (исходного представления ADL(1, 1; 1)).
Авторегрессионные ошибки (Д = -ах/30):
yt = ju + (*Уіі + $Л а АЛ-1 + Sv Запишем это уравнение в виде:
Уг ~ аУг= (1 а)а + A)(*r axt-) + Єг
В последнем уравнении легко узнается преобразование Кохрейна — Оркатта, используемое для преодоления проблемы автокоррелированности ошибок в модели парной регрессии:
ytа + Д0х, + ut, ut = axut_x + єп |#il<l.
9. Модель коррекции ошибок (ах < 1, Д0 + Д = Ь( ах)9 Ъ Ф 0):
АУ/ = М + ДоД*/ 0 Я1ХУ/-1 4-і) +
или
Ду, = Д0Лх,(1 -ax)(yt_x -abxt_x) + єп
И , До+Д где а= , Ь = ——— .
1 ах -ах
Модели такого вида будут очень часто встречаться у нас при рассмотрении связей между нестационарными временными рядами. В этих случаях такая модель описывает механизм поддержания долговременной связи
у а + Ьх
между переменными yt и xt в форме коррекций отклонений yt_x а bxt_х от долговременной связи в предыдущий момент времени.
Замечание 8.2.1. Исходную (полную) модель ADL(1, 1; 1)
Уг = М + <*Уг+ ДЛ + АЛ-1 + Ь>
всегда можно преобразовать к виду:
У г Уt-1 = М (1 а) Уі-1 + A) Xt_ х) + (До + Д )xt_ Х + Єг
Если выполнено условие ах < 1 (условие стабильности модели), то
Ду, =jU + /30Axt-(l-ax)
Ґ До+Д Л
+ et9
и при До + Д * 0 получаем модель коррекции ошибок.
Таким образом, модели с ах < 1 и Д0 + Д * 0 могут быть представлены в равносильной форме в виде модели коррекции ошибок.
Обратим теперь внимание на следующее. На практике мы имеем дело только со статистическими данными и не можем знать точно, какая именно модель лежала в основе процесса порождения данных (data generating process — DGP). Можем только, привлекая какие-то теоретические положения или результаты ранее проведенных исследований с другими множествами данных, выбрать некоторую статистическую модель (statistical model — SM), которую, по нашему мнению, можно использовать для описания процесса порождения данных. Выбрав такую модель, производим ее оценивание и затем по оцененной модели можем проверять различные гипотезы о ее коэффициентах, строить доверительные интервалы для коэффициентов и прогнозировать значения объясняемых переменных для нового набора объясняющих переменных. Между тем здесь решающее значение имеет соотношение между истинным процессом порождения данных и выбранной статистической моделью.
Если статистическая модель SM оказывается более полной по сравнению с DGP, то оценивание SM приводит к менее эффективным оценкам. В то же время если процесс порождения данных оказывается полнее, чем выбранная SM, то это приводит к более неприятным последствиям — к смещению оценок. Вследствие этого обычно рекомендуется следовать принципу «от общего к частному», т.е. первоначально выбирать в качестве статистической достаточно полную модель, а затем, производя последовательное тестирование статистической модели, редуцировать исходную статистическую модель к более экономной форме.
ПРИМЕР 8.2.5
Статистические данные (п = 100) порождены стабильной моделью ADL(1, 1; 1)
yt = 0.5yt_{ + 0.2xt + 03xt_{ + єп st ~ Ltd. N(0, 0.12),
xt = 0.5xt_{ + v„ v, ~ ltd. iV(0, 0.52),
 |
Оценивание по этим реализациям полной модели ADL(1, 1; 1) в качестве статистической модели дает следующие результаты (табл. 8.5).
Исключая из правой части статистической модели константу, получаем результаты, приведенные в табл. 8.6.
Редуцированная модель признается лучшей по критерию Шварца. Проверка ее на адекватность дает следующие результаты:
коррелограмма ряда остатков соответствует процессу белого шума;
критерий Бройша — Годфри указывает на отсутствие автокоррелированности у ряда st (Р-значение = 0.375 при AR(1) альтернативе и 0.165 при AR(2) альтернативе);
критерий Харке — Бера не обнаруживает значимых отклонений от нормальности (Р-значение = 0.689);
критерий Уайта не обнаруживает гетероскедастичности (Р-значение = = 0.285).
Иными словами, применение критериев адекватности к оцененной модели дает удовлетворительные результаты.
Посмотрим теперь, что дает оценивание по тем же данным выбираемых в качестве SM перечисленных ранее 8 редуцированных моделей.
Объясняемая переменная У
SMj Статическая регрессия: yt = ju + /?0jc, + єг Оцененная модель представлена в табл. 8.7.
В правой части этой статистической модели нет запаздывающих значений объясняемой переменной. Поэтому здесь можно ориентироваться на значения статистики Дарбина — Уотсона. Низкое значение этой статистики указывает на автокоррелированность ряда еп т.е. на неправильную спецификацию выбранной статистической модели.
SM2 Процесс авторегрессии: yt = ju + axyt_x + єг
Оцененная модель представлена в табл. 8.8.
Объясняемая переменная У
Поскольку в этой статистической модели правая часть содержит запаздывающее значение объясняемой переменной, ориентироваться на статистику Дарбина — Уотсона не следует. Проверку на отсутствие автокоррелированности для ряда st выполняем, используя критерий Бройша—Годфри. При AR(1) альтернативе Р-значение этого критерия равно 0.00003, так что гипотеза некоррелированности случайных величин st отвергается. Следовательно, выбранная статистическая модель специфицирована неправильно.
SM3 Модель опережающего показателя: yt = ju + Pxxt_x + єг Оцененная модель представлена в табл. 8.9.
При AR(1) альтернативе Р-значение критерия Бройша — Годфри равно 0.0002, гипотеза некоррелированности случайных величин et отвергается. Выбранная статистическая модель специфицирована неправильно.
SM4 Модель скорости роста: Ayt = /л + fl0Axt + єг Оцененная модель представлена в табл. 8.10.
При AR(1) альтернативе Р-значение критерия Бройша — Годфри равно 0.029, гипотеза некоррелированности случайных величин et отвергается. Выбранная статистическая модель специфицирована неправильно.
SM5 Модель распределенных запаздываний: yt=ju + J30xt + Дxt_x + єг Оцененная модель представлена в табл. 8.11.
Таблица 8.11
При AR(1) альтернативе Р-значение критерия Бройша — Годфри равно 0.0000, гипотеза некоррелированности случайных величин st отвергается. Выбранная статистическая модель специфицирована неправильно.
SM6 Модель частичной корректировки: yt ju + axyt_x + J30xt + єг Оцененная модель представлена в табл. 8.12.
При AR(1) альтернативе Р-значение критерия Бройша — Годфри равно 0.012, гипотеза некоррелированности случайных величин et отвергается. Выбранная статистическая модель специфицирована неправильно.
SM7 Приведенная форма: yt = /л + axyt_x + jBxxt_x + єг Оцененная модель представлена в табл. 8.13.
Здесь Р-значение критерия Бройша — Годфри при AR(1) альтернативе равно 0.499, а при AR(2) альтернативе равно 0.538. Гипотеза некоррелированности случайных величин et не отвергается, и можно перейти к проверке адекватности другими критериями. Критерий Харке — Бера не обнаруживает значимых отклонений от нормальности (Р-значение = 0.937). Критерий Уайта не обнаруживает гетероскедастичности (Р-значение = 0.348).
Иными словами, применение критериев адекватности к оцененной модели дает удовлетворительные результаты. Поэтому можно осуществить редукцию модели, основываясь на статистической незначимости константы в правой части уравнения. Исключение константы из правой части дает (табл. 8.14).
Модель без константы предпочтительнее по критерию Шварца.
С точки зрения анализа остатков последняя модель вполне может быть использована для описания процесса порождения данных. Однако если сравнить результаты ее оценивания с полученными ранее результатами оценивания модели yt axyt_x + J30xt + j3xxt_x + єп то обнаружим, что в модели с включением xt в правую часть значения критериев Акаике (-1.874) и Шварца (-1.795) гораздо предпочтительнее.
SM8 Авторегрессионные ошибки: yt = /л + axyt_x + /3Qxt axjB0xt_x + єг Использование нелинейного (итерационного) метода наименьших квадратов для оценивания параметров этого уравнения дает результаты, представленные в табл. 8.15.
При AR( 1) альтернативе Р-значение критерия Бройша — Годфри равно 0.0002, гипотеза некоррелированности случайных величин st отвергается. Выбранная статистическая модель специфицирована неправильно.
Рассмотрим также оценивание SM в форме модели коррекции ошибок (хотя эта модель и не является редуцированной).
SM9 Модель коррекции ошибок: Ду, = /л + Д>Дх, (1 ax)(yt_x bxt_x + єг Оцененная модель (нелинейный метод наименьших квадратов) представлена в табл. 8.16.
Таблица 8.16
Р-значение критерия Бройша — Годфри при AR(1) альтернативе равно 0.130, а при AR(2) альтернативе равно 0.318, гипотеза некоррелированности случайных величин £*, не отвергается. Критерий Харке — Бера не обнаруживает значимых отклонений от нормальности (Р-значение = 0.711). Критерий Уайта не обнаруживает гетероскедастичности (Р-значение = 0.380).
Иными словами, применение критериев адекватности к оцененной модели дает удовлетворительные результаты. Опираясь на них, редуцируем модель, исключая из правой части константу (табл. 8.17). Таким образом:
Ду, = 0.190Дх,0.434(yt_x 1.029х,_!) + ег Модель без константы предпочтительнее по критерию Шварца.
Уединяя yt в левой части уравнения, получаем
yt = 0.566^_! + 0.190*, + 0.253х,_! + ег
Сравним это уравнение с реально использованным для моделирования:
DGP: yt = 0.5y,_i + 0.2х, + 03xt_Y + st
и с результатом оценивания соответствующей ему статистической модели:
yt = 0.565yt_l + 0.190*, + 0.257*,.! + єг
Найдем долговременное соотношение между переменными yt и хп соответствующее теоретическому процессу порождения данных:
yt = 0.5yt + 0.2xt + 03xt_{ -^у = х.
В то же время долговременное соотношение, получаемое по оцененной SM, соответствующей этому DGP:
yt = 0.565.У, + 0.190jc, + 0.257jc, -+у = 1.002jc.
Далее, долговременное соотношение, получаемое по оцененной SM9 (в варианте без константы в правой части):
yt = 0.566^ + 0.190х, + 0.253х, -*у = 1.021 х.
Наконец, если взять результаты оценивания модели SM7 (приведенная форма) без включения константы, то для этого случая получим
^ = 0.532^ + 0.316х, -+у = 0.675х.
Эти результаты указывают на возможность серьезных последствий, проистекающих из неправильной спецификации SM, когда эта спецификация оказывается уже спецификации DGP. Заметим, что в рамках такой SM отнюдь не всегда удается обнаружить статистическими методами узость выбранной спецификации. Мы смогли это сделать в рамках оцененных статистических моделей SMj — SM6 и SM8, но не в модели SM7.B
Рассмотрим теперь обратную ситуацию, когда, напротив, выбранная для оценивания статистическая модель SM оказывается полнее (шире) модели DGP, так что модель, соответствующая DGP, является частным случаем статистической модели, выбранной для оценивания.
В качестве DGP будем последовательно брать модели (1) — (8), а в качестве SM — полную модель ADL(1, 1; 1) без ограничений на коэффициенты:
yt = p + axyt_x + Дх, + /?,*,_! + ev
Значения коэффициентов при переменных в моделях (1) — (8) будем брать такими же, как и в исходной модели ADL(1, 1; 1)
yt = 0.5у,_! + 0.2xt + 0.3х,_! + 6t.
При моделировании DGP во всех случаях берется et ~ lid. N(0, 0.12).
DGPj: Статическая регрессия
yt = 0.2xt + єг
Оцененная статистическая модель представлена в табл. 8.18.
Р-значение критерия Бройша — Годфри при AR(1) альтернативе равно 0.760, а при AR(2) альтернативе равно 0.951, гипотеза некоррелированности случайных величин et не отвергается. Критерий Харке — Бера не обнаруживает значимых отклонений от нормальности (Р-значение = 0.733). Критерий Уайта не обнаруживает гетероскедастичности (Р-значение = 0.770).
Иными словами, применение критериев адекватности к оцененной модели дает удовлетворительные результаты. Опираясь на них, можно перейти к проверке гипотез о значениях коэффициентов. При проверке гипотезы
о занулении константы и коэффициентов при yt_ { и xt_ { получаем значение обычной F-статистики, равное F = 0.738, nqF = 2.214. Исходя из Р-распреде-ления для статистики F, получаем Р-значение = 0.532. Использование асимптотического распределения ^2(3) для qF приводит к Р-значению = 0.529. При обоих вариантах гипотеза о занулении трех указанных коэффициентов не отвергается. Тем самым можно перейти к оцениванию редуцированной модели^, = fl0xt + st (табл. 8.19).
Редуцированная модель лучше полной и по критерию Акаике, и по критерию Шварца. Остатки от оцененной редуцированной модели проходят тесты на нормальность, отсутствие автокоррелированности и гетероскедастичности.
DGP2: Процесс авторегрессии
yt = 0.5yt_x + st. Оцененная статистическая модель представлена в табл. 8.20.
Р-значение критерия Бройша — Годфри при AR(1) альтернативе равно 0.600, а при AR(2) альтернативе равно 0.773, гипотеза некоррелированности случайных величин st не отвергается. Критерий Харке — Бера не обнаруживает
значимых отклонений от нормальности (Р-значение = 0.654). Критерий Уайта не обнаруживает гетероскедастичности (Р-значение = 0.956).
При проверке гипотезы о занулении константы и коэффициентов при xt и xt_x получаем значение обычной Р-статистики, равное F= 0.641, nqF = 1.283. Исходя из Р-распределения для статистики Р, получаем Р-значение = 0.529. Использование асимптотического распределения ^2(3) для qF приводит к Р-значению = 0.527. При обоих вариантах гипотеза о занулении трех указанных коэффициентов не отвергается. Тем самым можно перейти к оцениванию редуцированной модели yt = axyt_x + st (табл. 8.21).
Редуцированная модель предпочтительнее и по критерию Акаике, и по критерию Шварца. Анализ остатков не выявляет значимых отклонений от сделанных предположений в отношении ряда sv
DGP3: Модель опережающего показателя
у, = 03х,_х + є,. Оцененная модель представлена в табл. 8.22.
Р-значение критерия Бройша — Годфри при AR(1) альтернативе равно 0.614, а при AR(2) альтернативе равно 0.868, гипотеза некоррелированности случайных величин st не отвергается. Критерий Харке — Бера не обнаруживает значимых отклонений от нормальности (Р-значение = 0.740). Критерий Уайта не обнаруживает гетероскедастичности (Р-значение = 0.804).
При проверке гипотезы о занулении константы и коэффициентов при xt и yt_x получаем значение обычной Р-статистики, равное F = 0.577, и #Р = 1.730. Исходя из Р-распределения для статистики Р, получаем Р-значение = 0.632. Использование асимптотического распределения х\^) Для приводит к Р-значению = 0.630. При обоих вариантах гипотеза о занулении трех указанных коэффициентов не отвергается. Тем самым можно перейти к оцениванию редуцированной модели yt = J3xxt_x + st (табл. 8.23).
Редуцированная модель предпочтительнее и по критерию Акаике, и по критерию Шварца. Анализ остатков не выявляет значимых отклонений от сделанных предположений в отношении ряда єг
DGP4: Модель скорости роста
Обсуждение Эконометрика Книга первая Часть 2
Комментарии, рецензии и отзывы