Раздел 9 нестационарные временные ряды. модели arima тема 9.1 нестационарные arma модели
Раздел 9 нестационарные временные ряды. модели arima тема 9.1 нестационарные arma модели
Нестационарные временные ряды
В данном разделе временно вернемся к прописным и строчным обозначениям для случайных величин и их реализаций соответственно.
Начнем изложение с рассмотрения двух временных рядов.
Первый из них представляет статистические данные о величине валового национального продукта {GNP — gross national product) в США за период с I квартала 1947 г. по IV квартал 1961 г. (сезонно скорректированные квартальные данные в пересчете на год — 60 наблюдений, млрд долл., в текущих ценах). График этого ряда (рис. 9.1) имеет выраженный линейный тренд.
600-■
GNP
 |
Второй ряд {NONDURABLE) представляет статистические данные об объеме потребительских расходов на товары кратковременного пользования и услуги в Великобритании за период с I квартала 1974 г. по IV квартал 1985 г.
 |
Хотя выборочные автокорреляционные и частные автокорреляционные функции определялись для стационарных рядов, посмотрим на коррелограм-мы, построенные по представленным данным.
Для ряда GNP коррелограмма имеет вид:
| A utocorrelation | Partial Correlation к | AC | РАС | g-статистика | Р-значение |
| |******* | ******* j | 0.946 | 0.946 | 56.419 | 0.000 |
| |******* | 1 2 | 0.893 | -0.021 | 107.52 | 0.000 |
| |****** | 1 з | 0.840 | -0.024 | 153.55 | 0.000 |
| |****** | 1 4 | 0.791 | 0.013 | 195.14 | 0.000 |
| ****** | 1 5 | 0.743 | -0.021 | 232.52 | 0.000 |
| ***** | 1 6 | 0.696 | -0.022 | 265.90 | 0.000 |
| ***** | 1 7 | 0.648 | -0.030 | 295.41 | 0.000 |
| |***** | 1 8 | 0.599 | -0.044 | 321.09 | 0.000 |
| **** | 1 9 | 0.550 | -0.033 | 343.13 | 0.000 |
| |**** | 1 10 | 0.498 | -0.052 | 361.57 | 0.000 |
| г** | *| 11 | 0.442 | -0.073 | 376.44 | 0.000 |
| г** | 1 12 | 0.388 | -0.034 | 388.08 | 0.000 |
| |*** | 1 із | 0.337 | -0.002 | 397.06 | 0.000 |
| ** | 1 14 | 0.291 | 0.007 | 403.91 | 0.000 |
| і** | 1 15 | 0.253 | 0.041 | 409.21 | 0.000 |
| і** | 1 16 | 0.218 | -0.002 | 413.22 | 0.000 |
Если отвлечься от видимой нестационарности этих рядов, то поведение выборочных ACF и PACF предполагает идентификацию обоих рядов как рядов типа AR(1). Имея в виду наличие у рядов выраженного линейного тренда, произведем оценивание моделей
Xt = а + j3t + axXt_{ + иг
(Здесь используем обозначение ип а не єп поскольку ряд ut на этот раз может и не быть белым шумом.)
Это приводит к следующим результатам1.
Для ряда GNP результаты приведены в табл. 9.1.
Остатки обнаруживают явную автокоррелированность: Р-значение критерия Бройша — Годфри при альтернативе AR(1) равно 0.0000. Переоценивание с включением в модель запаздывания на два квартала дает результаты, приведенные в табл. 9.2.
Модули комплексных чисел, обратных авторегрессионным корням, равны 0.7926, что говорит в пользу стационарности детрендированного ряда
X?=X,-M-rt.
Приводимые в таблицах оценки константы (Q и коэффициента при переменной t (Г) соответствуют оценкам ju и у в представлении
(Xt-M-rt) = al(Xt_l-M-Kt-^)) + ci2(Xt_2-ju-r{t-2)) + ut (а2 = 0 для табл. 9.1). Эти оценки получаются применением нелинейного метода наименьших квадратов. При этом обозначение AR(1) указывает на оценку для ах, a AR(2) — на оценку для а2.
К построению модели для ряда GNP можно подойти иначе. Сначала произведем детрендирование ряда, оценивая модель
Xt=fi + yt + ur
Результаты приведены в табл. 9.3.
Объясняемая переменная X
Остатки, полученные при оценивании этой модели, образуют оцененный детрендированный ряд со следующей коррелограммой:
| Autocorrelation | Partial Correlation | к | АС | РАС | g-статистика | Р-значение |
| ****** | ****** | 1 | 0.836 | 0.836 | 44.028 | 0.000 |
| **** | 2 | 0.531 | -0.554 | 62.115 | 0.000 | |
| і* | ** | 3 | 0.183 | -0.210 | 64.294 | 0.000 |
| і | 1 | 4 | -0.100 | 0.044 | 64.960 | 0.000 |
| **i | 1 | 5 | -0.272 | -0.004 | 69.949 | 0.000 |
| * | 6 | -0.339 | -0.082 | 77.846 | 0.000 | |
| *** | *l | 7 | -0.350 | -0.169 | 86.446 | 0.000 |
| * | 8 | -0.332 | -0.072 | 94.332 | 0.000 | |
| ** | | | 9 | -0.281 | 0.058 | 100.070 | 0.000 |
| ** | * | 10 | -0.234 | -0.177 | 104.160 | 0.000 |
| **i | *** | 11 | -0.234 | -0.321 | 108.320 | 0.000 |
| **i | * | 12 | -0.226 | 0.103 | 112.260 | 0.000 |
Она позволяет идентифицировать этот ряд как AR(2). После этого можно строить AR(2) модель (табл. 9.4) для (оцененного) детрендированного ряда
X, ,— =Х,-218.4825-5.181995/.
Объединив результаты последних двух оцениваний, получим оцененную модель
X,-218.4825-5.181995? =
= 1.379966(Х,_, -218.4825-5.181995(7-1))-0.630426(х,_2 218.4825 5.181995(7 2)),
или
X, = [(1 -1.379966+0.630426) • 218.4825 +
+ 1.379966-5.181995-0.630426-5.181995-2] +
+ (1 -1.379966 + 0.630426)-5.181995/ +1.379966Х,_, -0.630426Х,_2 +е, = = 55.338375 +1.297882/ +1.379966ЛГГ_1 0.630426Х,_2 +е,
В то же время по приведенным результатам оценивания модели Xt =а + flt + axXt_x + a2Xt_2 + ur
получаем
JT,217.7399-5.221538* =
= 1.380274(XM -217.7399-5.221538(^-1))-0.630066 {Xt_2 217.7399 5.221538(/ 2)),
или
Xt = [(1 -1.3 80274 + 0.630066) • 217.7399 +
+1.380274 • 5.221538 0.630066 • 5.221538 • 2] +
+ (1-1.380274 + 0.630066)-5.221538ґ + 1.380274Х,_1 -0.630066Х,_2 +et = = 55.17011 + 1.304298/ + 1.380274JTM -0.630066Х,_2 +et
Таким образом, результаты, полученные при использовании обоих вариантов построения модели, практически совпадают. Поэтому можно использовать смешанный вариант — применять детрендированный ряд для идентификации порядка модели, а оценивать идентифицированную модель вместе с включенным в нее трендом, в данном случае — оценивать модель Xt = а + + /3t + axXt_x +a2Xt_2+ur
Заметим, что диагностика рядов остатков в обеих оцененных моделях говорит в пользу их адекватности.
Перейдем теперь к ряду NONDURABLE. Коррелограмма детрендированного ряда (ряда остатков от оцененной модели регрессии Xt на константу и /) имеет вид:
| Autocorrelation | Partial Correlation | к | АС | РАС | g-статистика | Р-значение |
| |****** | j****** | -1 | 0.793 | 0.793 | 32.083 | 0.000 |
| 1 | 2 | 0.632 | 0.011 | 52.942 | 0.000 | |
| *** | **l | 3 | 0.432 | -0.195 | 62.887 | 0.000 |
| ** | **, | 4 | 0.219 | -0.193 | 65.515 | 0.000 |
| г | 1 | 5 | 0.090 | 0.062 | 65.965 | 0.000 |
| •і | *1 | 6 | -0.067 | -0.152 | 66.218 | 0.000 |
| ** | **| | 7 | -0.242 | -0.277 | 69.647 | 0.000 |
| *1 | 8 | -0.362 | -0.084 | 77.505 | 0.000 | |
| ****! | 9 | -0.510 | -0.211 | 93.500 | 0.000 |
Она обнаруживает резко выделяющийся пик на лаге 1, так что можно попробовать оценить модель Xt = а + J3t + axXt_x + ut. Это дает следующие результаты (табл. 9.5).
Наблюдаемые Р-значения статистик Люнга — Бокса для ряда остатков превышают 0.05 при всех выборах М от 1 до 20. Проверка на отсутствие автокоррелированности по критерию Бройша — Годфри дает Р-значения, большие 0.05, как при AR(1) альтернативе, так и при альтернативах AR(2), AR(3) и т.д. Наконец, при проверке нормальности Р-значение статистики Харке — Бера равно 0.648 , так что по совокупности этих результатов можно было бы говорить о пригодности оцененной модели
Xt 47962.75 -315.1909t = 0.884803 (Xt_x 47962.75 -315.1909(/ -1)) + et.
Обратим, однако, внимание на следующее обстоятельство. Оцененное значение 0.884803 коэффициента при Xt_x достаточно близко к 1, и если ориентироваться на вычисленное значение 0.080824 стандартной ошибки для этого коэффициента, то при допущении отклонений от оцененного значения в пределах двух стандартных ошибок в интервал допустимых значений 0.884803 ± 2-0.080824 попадают и значения, большие или равные 1. Но последние соответствуют нестационарному процессу авторегрессии.
Таким образом, несмотря на то что при полученной точечной оценке 0.884803 коэффициента при Xt_x построенная модель формально оказывается стационарной относительно детерминированного линейного тренда (т.е. детрен-дированный процесс следует стационарной AR(1) модели), нельзя с достаточной степенью уверенности гарантировать, что истинная модель порождения наблюдений также стационарна относительно линейного тренда.
Между тем вопрос о стационарности или о нестационарности модели, порождающей наблюдаемый ряд, привлекает к себе постоянное внимание уже в течение нескольких десятков лет. Это внимание особенно усилилось после серии работ 1980-х гг., в которых было введено понятие коинтеграции. С помощью этого понятия была обоснована методика построения «моделей коррекции ошибок», в рамках которых удается моделировать наличие долговременных связей между переменными вместе с указанием краткосрочной динамики, обеспечивающей поддержание этих долговременных связей.
Далее будут рассмотрены вопросы, связанные с методами различения стационарных (стационарных относительно детерминированного тренда) и нестационарных рядов в рамках ARMA моделей, а также вопросы построения моделей связи между временными рядами.
Поведение реализаций процесса авторегрессии первого порядка при различных значениях коэффициента при запаздывающей переменной
Начнем с рассмотрения наиболее простой модели — процесса AR(1)
Xt = axXt_x +єг
Мы уже знаем, что такой процесс является стационарным при выполнении условия -1 < ах < 1. А как проявляется нестационарность ряда Xt при нарушении этого условия? Приведем смоделированные реализации такого ряда при ах = 0.5 (рис. 9.3), ах = 0.7 (рис. 9.4), ах = 0.9 (рис. 9.5), ах = 1 (рис. 9.6), ах = 1.05 (рис. 9.7), ^ = 1.1 (рис. 9.8).
 |  | ||
 |  | ||
Однако поведение смоделированных рядов оказалось качественно различным. Полезно проследить (табл. 9.6), как изменяется характер траектории ряда с возрастанием значений коэффициента ах от ах = 0.5 до ах 1.1. Заметим при этом, что в порождающих моделях математические ожидания Xt равны 0. При
возрастании значения ах от ах = 0 (белый шум) до ах = 1 количество пересечений нулевого уровня уменьшается, все более длинными становятся периоды, в течение которых значения ряда находятся по одну сторону от нулевого уровня.
Расширенный график ряда при ах = 1, продленный до 500 наблюдений (рис. 9.10), иллюстрирует характерное свойство реализаций процесса
Xt =Xt_x + єп
состоящее в том, что такой процесс, начавшись в момент t = 1 со значения Xt = хх (в данном случае хх = 0), в дальнейшем очень редко пересекает уровень хх («возвращается к уровню хх») и, находясь в течение длительного времени по одну сторону от этого уровня (выше или ниже), может удаляться от этого уровня на значительные расстояния.
«Повернутая вертикально», траектория ряда напоминает траекторию движения сильно нетрезвого человека, пытающегося продвигаться вперед по прямой, но не имеющего возможности успешно выдерживать нужное направление (рис. 9.11). И это служит некоторым оправданием термина, используемого для AR(1) процесса с ах 1:
Xt -Xt_x + st — случайное блуждание (процесс случайного блуждания —
random walk).
Далее рассмотрим этот процесс подробнее, а сейчас обратим внимание на поведение реализаций процесса
Xt = axXt_x +є,
при ах 1.05 (рис. 9.7) и ах = 1.1 (рис. 9.8). Обе реализации иллюстрируют «взрывной» (explosive) характер поведения AR(1) процесса при ах > 1: траектории процесса очень быстро удаляются от начального уровня на всевозрастающие расстояния. В связи с этим «взрывные» модели непригодны для описания поведения макроэкономических рядов на сколь-нибудь протяженных интервалах времени.
Пониманию столь различного поведения реализаций AR(1) процесса помогает представление модели в виде:
Xt-Xt_x = axXt_x-Xt_x + st = (ax )Xt_x + єп
или
AXt=(pXt_x + sn
где AXt = Xt-Xt_x, cp =ax 1.
При ax = l имеем cp ax 1 = 0, и приращения AXt ряда Xt образуют процесс белого шума, так что условное математическое ожидание AXt при фиксированном (наблюдаемом) значении Xt_ х =xt_x не зависит от xt_ х и равно 0. Соответственно при фиксированном (наблюдаемом) значении Xt_x = xt_x условное математическое ожидание случайной величины Xt AXt + Xt_ х равно xt_ х. Если распределение случайной величины et симметрично относительно нуля (а именно таково гауссовское распределение, которое было использовано при моделировании), то наблюдаемое значение Xt = xt может с равным успехом оказаться как больше, так и меньше xt_x. Именно это и определяет блуждающий характер траектории ряда.
При ах > 1 имеем cp ах 1 > 0, и условное математическое ожидание AXt при фиксированном (наблюдаемом) значении Xt_х =xt_x, равное E(AXtXt_x = = xt_x) = cpxt_x, имеет знак, совпадающий со знаком xt_x. Таким образом, если xt_x > 0, то ожидаемое значение следующего наблюдения Xt = xt больше значения xt_ х, а если xt_ х < 0, то ожидаемое значение следующего наблюдения Xt = xt меньше значения xt_x. Наличие такого механизма приводит к быстрому и прогрессирующему удалению траектории процесса от начального уровня, что и наблюдалось для реализаций AR(1) модели при ах = 1.05 иах = 1.1.
Наконец, при 0 < ах < 1 имеем cp ах 1 < 0, и условное математическое ожидание AXt при фиксированном (наблюдаемом) значении Xt_ х = xt_ х, равное E(kXtXt_x = xt_x) = cpxt_x, имеет знак, противоположный знаку xt_x. Таким образом, если xt_ х > 0, то ожидаемое значение следующего наблюдения Xt -xt меньше значения xt_x, а если xt_x < 0, то ожидаемое значение еле
 |
Мы рассмотрели ситуации с ах > 0, поскольку они наиболее типичны для экономических временных рядов. Для полноты приведем также смоделированные реализации процесса Xt = axXt_x + et при ах = 1 (рис. 9.12) и ах = 1.1 (рис. 9.13).
Случайное блуждание как модель стохастического тренда
Обратимся теперь к процессу случайного блуждания
Xt—Xt_x + sn t— 1,Т,
со стартовым значением^ =х0. Можно представить^ в виде:
Xt = Xt_x +st= (Xt_2 + et_x) + є, = Xt_2 + st_x + et = (Xt_3 + st_2) + st_x + et = = Xt_3 + st_2 + €t_x + st =... = X0 + (єх +... + et),
t
Отсюда получаем
E(Xt | Х0 х0) х0,
D(X, |Х0 = х0) = D(st+... + є,) = D(£l) + ... + D(£,) = tD{ex) = w.
Далее,
Cov{Xt,Xt_x | Х0 = х0) = Е[(Х, -*оХ*м "Ч) I *о = *01 = = +... + Є, )(*, +... + )] = (()(г1 не зависит от значения jc0, так что
{t-)a] (t-l)a2£
Corr(Xt,Xt_l) =
4D{Xt)4D{X,_,) ~ №4<т1«-) ~
1-і
Отсюда находим
| t | Corr{XnXt_x) | t | Corr(XnXt_x) | |
| 1 | 0 | 6 | 0.913 | |
| 2 | 0.707 | 1 | 0.925 | |
| 3 | 0.806 | 8 | 0.935 | |
| 4 | 0.866 | 9 | 0.943 | |
| 5 | 0.894 | 10 | 0.949 |
т.е. соседние значения^, nXt_{ очень сильно коррелированы, притом положительно и тем более сильно, чем больше t. Именно это приводит к траектории случайного блуждания, которая наблюдалась выше. На первых нескольких шагах траектория как бы «определяется», где она будет находиться в течение довольно длительного периода — выше или ниже начального уровня х0. Так что если после нескольких первых шагов траектория случайного блуждания оказалась ниже уровня х0 (как это было у смоделированной нами реализации), она может оставаться там в течение весьма продолжительного времени. Если смоделировать очень длинную реализацию случайного блуждания, то она будет состоять из чередующихся длинных участков, на которых функция находится соответственно выше или ниже уровня х0. При Х0 = 0 получаем
Рассматривая последний ряд сам по себе (не связывая его со стартовым значением), имеем
ВД) = 0, D(Xt) = t<r*9
следовательно, этот ряд — нестационарный.
Этот ряд является моделью стохастического тренда (stochastic trend), который обнаруживается во многих экономических временных рядах и должен обязательно приниматься во внимание при построении регрессионных моделей связи между двумя или несколькими рядами, имеющими стохастический тренд.
Фундаментальное различие между временными рядами, имеющими только детерминированный тренд, и рядами, которые (возможно, наряду с детерминированным) имеют стохастический тренд
Поясним фундаментальное различие между временными рядами, имеющими только детерминированный тренд, и рядами, которые (возможно, наряду с детерминир
Обсуждение Эконометрика Книга первая Часть 2
Комментарии, рецензии и отзывы