Тема 9.2 проблема различения ts- и ds-рядов. гипотеза единичного корня

Тема 9.2 проблема различения tsи ds-рядов. гипотеза единичного корня

Постановка задачи

При построении моделей связей между временными рядами в долгосрочной перспективе необходимо учитывать факт наличия или отсутствия у анализируемых макроэкономических рядов стохастического (недетерминированного) тренда. Иначе говоря, приходится решать вопрос об отнесении каждого из рассматриваемых рядов к классу рядов, стационарных относительно детерминированного тренда (или просто стационарных), — это ГС-ряды, или к классу рядов, имеющих стохастический (возможно, наряду с детерминированным) тренд и приводимых к стационарному только путем однократного или ^-кратного1 дифференцирования ряда, — это DS-щлы.

Принципиальное различие между этими двумя классами рядов выражается в том, что в случае ГС-ряда вычитание из ряда соответствующего детерминированного тренда приводит к стационарному ряду, тогда как в случае DS-щм вычитание детерминированной составляющей ряда оставляет ряд нестационарным из-за наличия у него стохастического тренда.

Проблема отнесения макроэкономических рядов динамики, имеющих выраженный тренд, к одному из двух указанных классов активно обсуждалась в последние два десятилетия в мировой эконометрической и экономической литературе. Помимо того что траектории ГСи DS-щдръ отличаются друг от друга кардинальным образом, определение принадлежности рядов классам ГС или DS весьма важно для правильного построения долгосрочных регрессионных моделей, в которых объясняемыми и объясняющими переменными являются макроэкономические временные ряды (модели коинтеграции, модели коррекции ощибок, векторные авторегрессии).

Если выявляется группа макроэкономических рядов, принадлежащих классу ДО-рядов, то между этими рядами возможна так называемая коинте-грационная связь (cointegratiori) (см. ниже, разд. 11, тема 11.1), анализ которой позволяет, например проверять:

гипотезу эффективности финансовых рынков;

выполнение на практике теории паритета покупательной способности;

проверять выполнение в долгосрочной перспективе уравнения спроса на деньги.

Более того, при наличии коинтеграционной связи между /^-рядами можно построить комбинацию краткосрочной и долгосрочной динамических регрессионных моделей в форме так называемой модели коррекции ошибок (error-correction model), что предоставляет возможность построения на основании подобранной модели как краткосрочных, так и долгосрочных прогнозов.

Литература по этому вопросу весьма обширна. В качестве обзорных работ можно сослаться на монографии (Maddala, Кіт, 1998), (Enders, 1995), (Hamilton, 1994).

ГС-ряды имеют линию тренда в качестве некоторой «центральной» линии, которой следует траектория ряда, находясь то выше, то ниже этой линии, с достаточно частой сменой положений выше-ниже. /ЭЯ-ряды, помимо детерминированного тренда (если таковой есть), имеют еще и стохастический тренд, из-за присутствия которого траектория DS-щт весьма долго пребывает по одну сторону от линии детерминированного тренда (выше или ниже

Здесь не затрагиваем вопрос о возможной дробной интегрированности рядов.

этой линии), удаляясь от нее на значительные расстояния, так что, по существу, в этом случае линия детерминированного тренда перестает играть роль «центральной», вокруг которой колеблется траектория процесса.

В ГС-рядах влияние предыдущих шоковых воздействий затухает с течением времени, а в АЯ-рядах такое затухание отсутствует. Поэтому при наличии стохастического тренда необходимо проведение определенной экономической политики для возвращения макроэкономической переменной к ее долговременной преспективе, тогда как при отсутствии стохастического тренда серьезных усилий для достижения такой цели не требуется — в этом случае макроэкономическая переменная «скользит» вдоль линии тренда как направляющей, пересекая ее достаточно часто и не уклоняясь от нее сколь-нибудь далеко.

В течение довольно долгого времени было принято при анализе рядов с выраженным трендом производить оценивание и выделение детерминированного тренда, после чего производить подбор динамической модели (например, ARMA) к ряду, очищенному от тренда, т.е. к ряду остатков от соответствующей оцененной регрессионной модели. После введения Боксом и Дженкинсом в обиход моделей ARIMA стало модным остационаривание рядов с выраженным трендом и медленным убыванием (оцененной) автокорреляционной функции путем перехода к рядам первых или вторых разностей. Однако, как показали дальнейшие исследования, произвольный выбор одного из этих двух способов остационаривания ряда вовсе не так безобиден, как это казалось поначалу.

Было показано, что остационаривание АЯ-рядов путем перехода к очищенному ряду (детрендирование) изменяет спектр ряда, приводя к появлению ложной периодичности (ложные длиннопериодные циклы), которая может быть ошибочно истолкована как проявление некоторого экономического цикла. В то же время дифференцирование ГС-ряда приводит к «передифференцированному» ряду, который хотя и является стационарным, но обладает некоторыми нежелательными свойствами, связанными с необратимостью его МА составляющей, при этом возникает паразитная автокоррелированность соседних значений продифференцированного ряда (в спектре доминируют короткие циклы). Более того, в случае необратимости МА составляющей продифференцированного ряда становится невозможным использование обычных алгоритмов оценивания параметров и прогнозирования ряда (см., например, {Hamilton, 1994, гл. 4, 5)).

Итак, построение адекватной модели макроэкономического ряда, которую можно использовать для описания динамики ряда и прогнозирования его будущих значений, и адекватных моделей связей этого ряда с другими макроэкономическими рядами невозможно без выяснения природы этого ряда и природы рядов, с ним связываемых, т.е. без выяснения принадлежности ряда к одному из двух указанных классов (ГС или AS).

Как свидетельствуют многочисленные исследования, подробный обзор которых можно найти, например, в (Maddala, Кіт, 1998), проблема отнесения ряда к одному из указанных двух классов на основании наблюдения реализации ряда на некотором интервале времени оказалась весьма сложной. Было предложено множество процедур такой классификации, но и по настоящее время предлагаются все новые и новые процедуры, которые либо несколько превосходят старые по статистической эффективности (по крайней мере, теоретически), либо могут составить конкуренцию старым процедурам и служить дополнительным средством подтверждения классификации, произведенной другими методами. Описание многих таких процедур и ссылки на статьи с подробным описанием и теоретическим обоснованием этих процедур можно найти, например, в (Maddala, Кіт, 1998), (Enders, 1995), (Hamilton, 1994).

Здесь заметим только, что использование различных процедур может приводить к противоположным выводам о принадлежности наблюдаемого ряда классу Г£-рядов или классу /ЛУ-рядов. В этом отношении весьма показательным является сопоставление выводов, полученных при анализе 14 макроэкономических рядов США в работе (Nelson, Plosser, 1982) и в более поздней работе Перрона (Perron, 1989). Если в первой работе лишь один из 14 рассмотренных рядов был отнесен к классу TS, то во второй, напротив, к этому классу было отнесено уже 11 из них. Правда, такое кардинальное изменение результатов классификации было связано с расширением понятия ГЯ-рядов. В класс ГіУ-рядов стали включать и ряды, стационарные относительно трендов, имеющих излом в известный момент времени. Отказ от предположения об известной дате излома тренда, в свою очередь, привел к некоторому изменению классификации, полученной Перроном (см. (Zivot, Andrews, 1992)). Допущение еще более гибких форм функции тренда изменило и последнюю классификацию (см. (Bierens, 1997)). Наконец, работа (Nunes, Newbold, Kuan, 1997) «замкнула круг»: изменение предположения о характере процесса порождения данных по сравнению с (Zivot, Andrews, 1992) привело к той же классификации 14 рядов, которая была получена в (Nelson, Plosser, 1982).

В связи с такими результатами обычно при анализе конкретных макроэкономических рядов применяют несколько разных статистических процедур, что позволяет укрепить выводы, сделанные в пользу одной из двух (TS или DS) конкурирующих гипотез.

Различение TSи DS-рядов в классе моделей ARIMA. Гипотеза единичного корня

Как было отмечено выше, для решения вопроса об отнесении исследуемого ряда Xt к классу TS (стационарных или стационарных относительно тренда) или DS (разностно стационарных) процессов имеется целый ряд различных процедур. Однако все эти процедуры страдают теми или иными недостатками. Процедуры, оформленные в виде формальных статистических критериев, как правило, имеют достаточно низкую мощность, что ведет к весьма частому неотвержению исходной (нулевой) гипотезы, когда она в действительности не выполняется. В то же время невыполнение теоретических предпосылок, на которых основывается критерий, при применении его к реальным данным приводит к тому, что реально наблюдаемый размер критерия отличается от заявленного уровня значимости. Вследствие последнего обстоятельства теряется контроль над вероятностью ошибки первого рода, это может привести к слишком частому отвержению нулевой гипотезы, когда она в действительности верна. Исходя из этого исследователи обычно при анализе рядов на принадлежность их к классу TS или DS применяют не один, а несколько критериев и подкрепляют выводы, полученные с использованием формальных критериев (с установленными уровнями значимости), графическими процедурами. Мы также будем использовать в нашем исследовании несколько процедур различения TSи DS-рядов и в следующем разделе кратко опишем эти процедуры.

В большинстве критериев, предложенных для различения DSи Г^-гипотез, эта задача решается в классе моделей ARMA (стационарных и нестационарных).

Если ряд Xt имеет тип ARIMAQ?, k, q), то в результате его ^-кратного дифференцирования получим стационарный ряд AkXt типа ARMA(/?, q) — скажем,

aL)A\% = b(L)6n

где a*(L) и b(L) — полиномы от оператора обратного сдвига Z, имеющие степени р и q соответственно.

Заметим, что AXt = (1 L)Xn так что

A\% = (-L)kXn

и

aXL)(-L)kXt = b{L)et,

или

a{L)Xt = b{L)e„ где a(L) = a*(L)(l L)k — полином степени (р + к).

Поскольку ряд AkXt стационарный, все р корней полинома a*(z) находятся за пределами единичного круга, так что полином a(z) имеет р корней за пределами единичного круга и к корней на границе этого круга, точнее, корень z = 1 кратности к.

Таким образом, ряд Xt представляется нестационарной моделью ARMA(p+к, q в которой авторегрессионный полином a(L) имеет ровно к корней, равных 1, а все остальные корни по модулю больше 1. Поэтому проверка нулевой гипотезы Н0 о том, что некоторый ARMA ряд Xt является /ЛУ-рядом (а не стационарным рядом), может быть сведена к проверке гипотезы о том, что авторегрессионный полином а(Ь) имеет хотя бы один корень, равный 1. Это оправданно, если исходить из предположения, что a(z) не имеет корней внутри

единичного круга, т.е. исключить из рассмотрения взрывные модели. При этом о гипотезе #0 кратко говорят как о гипотезе единичного корня (UR — unit root hypothesis), хотя точнее было бы говорить о гипотезе авторегрессионного единичного корня. В качестве альтернативной тогда выступает Г5-гипотеза о том, что рассматриваемый ARMA ряд — стационарный.

Критерии, в которых за исходную (нулевую) берется гипотеза TS, служат, скорее, для подтверждения результатов проверки ^-гипотезы. В этом случае вместо проверки гипотезы единичного корня у полинома a(z) проверяется гипотеза о наличии единичного корня z = 1 у уравнения b*(z) = 0, где b*(L) — полином от оператора обратного сдвига L в представлении в виде процесса скользящего среднего АХ, = b*(z)st ряда разностей AXt = Xt Х,_х исходного процесса Xv

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

Какие проблемы возникают при решении на основании статистических данных вопроса об отнесении временного ряда к классу TSили к классу DS-рядов?

Как формулируется соответствующая задача в классе моделей ARMA?