Тема 7.2 динамический метод наименьших квадратов для оценивания коинтегрирующего вектора системы интегрированных рядов

Тема 7.2 динамический метод наименьших квадратов для оценивания коинтегрирующего вектора системы интегрированных рядов

С момента появления исторической работы Энгла и Грейнджера (Engle, Granger, 1987) коинтегрирующие регрессии стали одним из стандартных инструментов анализа интегрированных Д1)-переменных.

Если некоторые Д1)-переменные коинтегрированы, то в рассмотренной во второй части учебника двухшаговой процедуре Энгла — Грейнджера на первом шаге производится оценивание коинтеграционного соотношения между этими переменными, дающее состоятельные оценки коэффициентов этого соотношения при наличии и автокоррелированности ошибок в оцениваемом уравнении, и коррелированности ошибок с регрессорами. Наличие такой коррелированное™ возникает, например, в модели

Уи=<х + РУи+єи> 4v2/=*2/> где уи и y2t —Д 1 )-переменные; єи -i.i.d. N(0, of); s2t ~ ltd. N(0, бг22), если

Cov(sXns2s) 

В этом случае:

Соу(єи 9y2t) = Cov(su ,є2Х+є22+... + є2,) = аХ2,

Corr(sXny2t) =

<J2

+ б22 + ... + 62t)

Если выборка невелика, то оценки могут быть заметно смещены, и тем в большей степени, чем меньше объем выборки. Поскольку переменные нестационарны, оценки коэффициентов не являются асимптотически нормальными, что не позволяет использовать их для статистических выводов о коэффициентах коинтегрирующего вектора. Если система состоит из 3 рядов и более, она может иметь несколько линейно независимых коинтегрирующих векторов, и в этом случае возникают проблемы с экономической интерпретацией.

Указанные трудности привели к развитию альтернативных процедур, среди которых предложенная в работе (Johansen, 1991) и рассмотренная во второй части учебника процедура, улучшающая OLS в нескольких направлениях:

существование единственного коинтеграционного соотношения не предполагается априори, а тестируется;

все регрессоры рассматриваются как эндогенные;

можно оценить ранг коинтеграции;

возможны оценивание коинтегрирующих векторов и проверка различных ограничений на коэффициенты этих векторов;

возможна проверка выполнения ограничений на коэффициенты коинтегрирующих векторов;

возможно построение моделей коррекции ошибок с несколькими коин-теграционными соотношениями.

Однако процедура Йохансена имеет и определенные недостатки:

оценки могут иметь существенное смещение при малых выборках;

неправильная спецификация даже одного из уравнений системы влияет на оценки коэффициентов во всех остальных уравнениях.

Указанные недостатки преодолеваются в процедуре динамического OLS (DOLS — dynamic ordinary least squares), улучшающей OLS и имеющей те же свойства оптимальности, что и процедура Йохансена. Эта процедура была разработана в работах (Phillips, Loretan, 1991), (Saikkonen, 1991), (Stock, Watson, 1993). Статистическое моделирование показывает (Carrion-i-Silvestre, Sanso-i-Rossello, 2004), что в малых выборках DOLS работает лучше, чем еще одна модификация OLS (с теми же свойствами оптимальности) — FM OLS (full modified OLS) (см. (Phillips, Hansen, 1990)).

В чем состоит идея DOLS? Рассмотрим ее на нашем примере. В этом примере:

єи ~ lid. N(0, (Tj2), s2t ~ lid. N(0, cr2),

Cov(sXns2s) =

on * 0, t = s, I 0, t*s9

так что

\£2tJ

7V(0,Z), гдеІ =

>2J

Условное математическое ожидание случайной величины єи относительно {є2п t = 0, ±1,±2, ...} здесь равно:

E[su\{s2nt = 0,±l±2,...}] = E[sus2t] =

О у

= E(sXt)^(s2t-E(s2t))^s2t

Если обозначить:

vXt=sXt-E[sXt\{s2t9t = 09±l9±29...}]9

то Cov(vXt9s2s) = Cov

ЄМ 2 £2t 9 £2s

V °2 J

= Cov(sXt, £2s)~~T Cov(su 9e2s) = 0,

как при t^s9 так и при t = s.

Запишем исходное уравнение в виде:

уи = a + /3y2t+sXt = a + /3y2t+E[sXt\{s2t9t = 09±l9±29...}] + vXt9

т.е. уи = а + Py2t +^j-s2t+ vXt,

а2

или уи = а + #у2, + ^fДу2, + vXt,

где Ay2^ = є2пи теперь уже

Cov (ylt ,Уг,) = Cov (уи 9s2X+s22+'+ s2t) = 0.

Таким образом, в этой простейшей ситуации для предупреждения смещения OLS-оценки коэффициента /? достаточно дополнить правую часть уравнения приращением объясняющей переменной jy2r

В общем случае, когда оценивается коинтеграционное уравнение

Ум = в + вгУъ + • • • + ви Ут + АУь = є*> k = 29...9N9

где \% ~ Lid. N(09 <rk)9 в правую часть приходится добавлять не только текущие, но и запаздывающие (lags) и опережающие (leads) приращения переменных y2t, ..., удг,:

00

Ум = в + #2^2/ + • • • + On Умі + Z Oby 4v2, r-y + • • •+ Ynj АУм, t-j ) + vir

j = -co

При этом для проверки гипотез о коэффициентах можно использовать стандартные процедуры, основанные на tи F-статистиках (DOLS-o\qhkyl асимптотически нормальны).

Разумеется, реально используется усечение бесконечной суммы в правой части, так что оценивается модель:

к

yxt=ex+e2y2t +... + 0NyNt + 2>27-4У2,,-у +... + r*A4/-7-) + vlr

j=-K

Значение К должно быть достаточно большим для того, чтобы ликвидировать или свести к минимуму коррелированность объясняющих переменных с vln но и не излишне большим, поскольку это ведет к ухудшению эффективности оценок.

Нетрудно заметить, что такая процедура уже рассматривалась в разд. 11 ч. 2, где она упоминалась как метод «leads and lags». Наименование «DOLS» связывают с работой (Stock, Watson, 1993), в которой методика «leads and lags» распространялась на коинтегрирующие регрессии с 7(1)и Д2)-переменными. Кратко обсудим такие ситуации чуть ниже.

В примере 11.2.2 разд. 11 ч. 2 была сгенерирована реализация модели:

yt =5 + zt +ut9 Azt = єп

ut =st + 0.65sM +0.65st+[ +0.55£,_2 + 0.55£,+2 +v,,

где st ~ lid. N(0, 1); v, lid. N(0, 0Л2),

и оценено уравнение^, = a + J3zt + ut методом OLSпо первым 30 наблюдениям.

При этом были получены следующие оценки: а = 4.718, J5 1.235. Затем правую часть коинтеграционного уравнения мы дополнили текущим, двумя запаздывающими и двумя опережающими приращениями переменной zr При этом были получены следующие оценки наименьших квадратов для постоянной и для коэффициента при переменной zt а = 4.995, /? = 1.0004. Значения полученных DOLS-оценок намного ближе к значениям а и /? в модели, порождающей данные.

Сгенерируем теперь реализацию модели >>, = 5 + zt + ut, где опять Azt = sn

ut = st +0.65£,_1 +0.65£,+1 +0.55£,_2 +0.55£,+2 + vt, st~ lid. N(0,1),

но на сей раз vt является стационарным АЯ(2)-рядом:

v, = 1.3vM -0.4v,_2 +£, £ ~ lid. N(0,0.12).

Оценивая уравнение yt = а + f5zt + ut методом OLS по первым 30 наблюдениям, получаем: а = 4.669, jB = 1.210.

Для рядов Azt и ut (ut — ряд остатков) часть кросс-коррелограммы имеет вид

В соответствии с кросс-коррелограммой опять дополняем правую часть коинтеграционного уравнения текущим, двумя запаздывающими и двумя опережающими приращениями переменной zt

2

yt=a + Pzt+ Y^Yj^t-j+Vr

J = -2

Оценивая это уравнение методом наименьших квадратов, получаем: а = 4.908, /? = 0.958.

Здесь в результате оценивания расширенного уравнения сохраняется авто-коррелированность в остатках, что можно учесть двумя способами.

Во-первых, для оценивания расширенного уравнения можно применить доступный вариант GLS или процедуру Кохрейна — Оркатта: этот вариант Сток и Уотсон называют динамическим обобщенным методом наименьших квадратов (DGLS — dynamic generalized least squares). Если, как в нашем примере, vt имеет структуру AR(2), т.е.

ИЛИ

a(L)vt=^n где a(L) = l-alL-a2L2,

то надо взять ряд остатков v„ полученных при оценивании расширенного уравнения (DOLS), и оценить уравнение

^=a1vM+a2v/_2+7/.

Полученные оценки а} иа2 используются для оценивания а(Ь):

a(L) = 1 axL a2L2.

После этого производится авторегрессионное преобразование объясняющей и объясняющих переменных в расширенном уравнении, что приводит к преобразованному уравнению:

2

a(L)yt =a(L)a + j3a(L)zt + tf(Z)Az,_y +//,.

В рамках преобразованного уравнения можно уже на законных основаниях проверять гипотезы о коэффициентах коинтеграционного соотношения, используя для этой цели /и F-статистики.

Применение указанного подхода в рамках процедуры, реализуемой в Е Views (с включением в спецификацию уравнения AR(1) и AR(2)), приводит к следующим результатам:

с? =4.955, ^ = 0.955.

Проверим гипотезу Н0: а = 5, J3= 1. Как следует из результатов проверки (табл. 7.3), эта гипотеза не отвергается.

Если динамика ряда v, определяется моделью AR(p):

V, = aVt-l + °2 V,-2 + ■ ■ ■ + apVt-p + 6»

(7.4)

то можно не изменять спецификацию расширенного уравнения, производя авторегрессионное преобразование переменных, а вместо этого скорректировать надлежащим образом значения tи F-статистик для проверки гипотез о значениях коэффициентов.

При таком подходе в выражениях для /и F-статистик несмещенная оценка S2 дисперсии ошибок, вычисляемая по остаткам vt в расширенном уравнении, заменяется оценкой долговременной дисперсии ряда vn вычисляемой по формуле:

(-ах-...-арУ

Для этого оценивается уравнение (7.4), находятся оценки аи а2, ар и ряд остатков ^,ив качестве оценки для Л2 берется

я2=(-ax-...-apf

1 П Л

где д = V \%2 — оценка дисперсии ряда £г

n-Pt=P+

При проверке гипотезы Н0: J3 = /3° стандартное выражение для ґ-статис-тики имеет вид

Скорректированное значение равно:

Аналогично скорректированное значение F-статистики равно

В нашем примере оценивание уравнения vt = axvt_x + a2vt_2 + /7,, дает результаты, приведенные в табл. 7.4. Соответственно отсюда находим:

0.062628

= 0.2508, £=0.06291

(1-0.993306 + 0.243001)

Скорректированное значение ґ-статистики для проверки гипотезы Н0: /?= 1 равно

adj

f сЛ

0.2508

0.957998-1 0.113386

0.011395

(-3.686) = -1.666,

при этом гипотеза (5 1 не отвергается.

При проверке в уравнении DOLS гипотезы Я0: а = 5, /3 = 1 вычисленное значение F-статистики равно 6.826679, что дает Р-значение, равное 0.005496, — эта гипотеза отвергается.

Скорректированное значение F-статистики равно:

Fadj= 6.826679

^0.113386л2 0.2508

= 6.826679-0.20439 = 1.3953;

ему соответствует Р-значение 0.271, при этом гипотеза Н0: а= 5, /?= 1 уже не отвергается.

v Замечание 7.2.1. Если ии не является причиной по Грейнджеру для ult, то в правой части уравнения DOLS достаточно оставить только текущее и запаздывающие значения приращений:

к

У и = 6 + 02y2t +... + eNyNt + X ІГу Ау2, t-j + • • • + г л/ АУм, t-j ) + vir

у = о

В работе {Stock, Watson, 1993) метод DOLS применяется для исследования долговременного спроса на деньги в США. Используемые переменные:

mt — log Ml; gnpt — log GNP;

rt — аннуализированная процентная ставка по коммерческим бумагам; pt — log дефлятора GNP.

Рассматривались 3 спецификации, в каждой из которых г, трактовалась как переменная порядка /(1), а разность (mt 6ppt Ognpgnpt 6rrt) — как /(О)-переменная.

В качестве первой спецификации рассматривалась модель, в которой gnpt9 rnpt — некоинтегрированные Д1)-переменные.

Тогда имеем коинтегрированную систему Д1)-рядов (тп рп gnpn rt). В соответствии со сказанным выше оценивается модель

к

mt = Mi + 6pPt + 0gnpg"Pt + 0rrt + X (rpj &Pt-j + Ygnp, j bgnpt_j + Art_j) + vr

j=-K

Значение К выбиралось равным 2 и 3, использовались как DOLS, так и GLS. Оценки коэффициентов изменялись в следующих пределах:

для 0 : 0.997—1.159 (стандартные ошибки в пределах 0.159—0.234);

для 6gnp: 0.685—0.890 (стандартные ошибки в пределах 0.133—0.237);

для в/. -0.122 0.034 (стандартные ошибки в пределах 0.015—0.017).

Предыдущим рассмотрением можно было бы и ограничиться, если бы не неясность с порядками интегрированное™ переменных mt npt: они имеют то ли порядок 1, то ли порядок 2. В работе (Stock, Watson, 1993) метод «leads and lags» был обобщен на ситуации с наличием переменных разных порядков интегрированное™.

Пусть максимальный порядок интегрированное™ компонент jV-мерного временного ряда jy, равен d. Предполагается, что ряд имеет представление:

Adyt=p + F(L)st,

где Ad=(l L)d, компоненты st не коррелированы между собой;

F(L)=Y,FjLJ> rankF(l) = *,, 0<kx <N.

j = 0

(Последнее означает существование по меньшей мере (N кх) коинтегри-рующих векторов в системе.) Мы рассмотрим здесь только спецификации с порядками интегрированное™ не более двух. Общая 1(2) модель имеет вид:

£у) =м,о+м/1;

ДУ,2 =M2,o+M2, + в х Ay,1 + и);

У) = /*з, о + /'зУ + Мз, it2 + в{Ау) + ві ху) + ві 2 Ay? + w,3.

Здесь

Уі=(УІ>УЇ>У?)Т>

00

вектору/ имеет размер (^ х 1), / = 1, 2, 3, и, = st-jj = 0

Для простоты изложения коэффициенты при детерминированных составляющих полагаем равными 0, так что рассматривается представление:

а) А2у]=и];

б) Ау2=вЛАу)+и2;

в) уї=ЄМ+$лУ)+вІгЬу}+«1

Некоторые строки у в могут быть равными 0 или сами в равны 0. Второй блок может отсутствовать вовсе. Рассматриваются частные случаи с к2 = О или к2 = 1, на базе которых можно анализировать более общие ситуации.

Случай 1. к2 = 0. В этом случае блок б) отсутствует в системе и у} не входит в в):

Элементы д>Д соответствующие нулевым строкам ИВ ^з°,,ЙВ #3!, являются /(О)-переменными, и эти переменные не входят ни в какие коинтеграционные соотношения. Элементы д>Д соответствующие нулевым строкам в но ненулевым строкам в ,, являются Д1 )-переменными. Элементы у?9 соответствующие ненулевым строкам в в^х, являются Д2)-переменными.

В этом случае DOLS и DGLS для (в^х, в®х) асимптотически эффективны, и для проверки линейных гипотез об их значениях можно использовать хи-квадрат критерий Вальда.

Случай 2. ^ = 1, Ау] =в хАу) + и], вЛ известно. Тогда оценивается следующее уравнение:

у] = вЛАу) +\%У,+в12у? +d3l(L)A2ylt + dn(L)(Ay2 в^Ау1,) + ^.

Этому случаю соответствует вторая спецификация модели, в которой т„ pt ~ 1(2) и гп Ар, не коинтегрированы между собой. Тогда имеем 7(2)-систему, в которой

у ~Pf у) =

rgnp,^

V r, J

у, =т,>

#2,1

^3,1 -°» вії-вр-

gnp

Иначе говоря:

= u,

а) A2pt =и)

rgnpt^

б) А

V rt J

в) mt=Oppt+em&ipt+Orrt+u). В этом случае оценивается уравнение:

Щ = V + 6pPt+egnpenPt+drrt + к

+ Z (YPj ^Pt-j + У gnp, j *g"Pt-j + Yrj An-j) + vr J=-k

Значение К выбиралось равным 2 и 3; использовались как DOLS, так и DGLS. Оценки коэффициентов изменялись в следующих пределах:

для в : 1.022— 1.277 (стандартные ошибки в пределах 0.205—0.290);

для egnp: 0.723—0.841 (стандартные ошибки в пределах 0.208—0.265);

для в/. -0.125 0.032 (стандартные ошибки в пределах 0.016—0.023).

Третья спецификация:

pt ~ Д2), реальная ставка (г, Ар,) ~ ДО). Тогда имеем 7(2)-систему, в которой

УІ=Рп уї =

gnPt

#2,1

(ti

,1у

» #3,1 = #г> #3°1 6р > #3°2

gnp

0).

Иначе говоря,

a) A2p,=ui

б) А

V

gnp, A-*r,

t J

,2.

t >

Ap + ul

в) mt=6rApt+6ppt+6^pgnpt+u).

В этом случае оценивается уравнение:

+ £ А2 А-у + 7W, у AgwA-y + Ггу irt ' APt)) + vr

у=-*

Значение АГ выбиралось равным 2 и 3; использовались как DOLS, так и Оценки коэффициентов изменялись в следующих пределах:

для вр 0.854—1.087 (стандартные ошибки в пределах 0.141—0.217);

для 0gnp: 0.671—0.922 (стандартные ошибки в пределах 0.141—0.217);

для вг -0.198 0.002 (стандартные ошибки в пределах 0.013—0.017).

Итоги рассмотрения трех спецификаций:

во всех спецификациях оценки коэффициента вр не отличались от 1 на 10\%-м уровне значимости;

во всех случаях оценки коэффициента 0 не отличались от 1 на 10\%-м уровне значимости;

в ряде случаев оценки коэффициента вг весьма неточны.