3. проверка гипотезы о значимости уравнения парной регрессии. теорема о разложении сумм квадратов

3. проверка гипотезы о значимости уравнения парной регрессии. теорема о разложении сумм квадратов

Проверка гипотезы значимости парного линейного уравнения регрессии сводится к проверке гипотез о значимости коэффициентов регрессиив0 ив1 или парного коэффициента детерминации гУХ .

В этом случае могут быть выдвинуты следующие основные гипотезы:

Н0 / в0 = 0 и Н0 / в = 0 — коэффициенты регрессии являются незначимыми и уравнение регрессии также является незначимым;

Н0 /r2yx = 0 — парный коэффициент детерминации незначим и уравнение регрессии также является незначимым. Альтернативной (или обратных к основным) выступает гипотезы;

Н1 /в0 ^ 0 и Н1 /в1 ^ 0 — коэффициенты регрессии значимо отличаются от нуля и построенное уравнение регрессии является значимым;

Н1 / r2yx ^ 0 — парный коэффициент детерминации значимо отличается от нуля, следовательно, построенное уравнение регрессии является значимым.

Для проверки гипотезы значимости уравнения регрессии в целом используется F-критерий Фишера—Снедекора. Гипотеза проверяется следующим образом:

если наблюдаемое значение F-критерия больше критического значения данного критерия, т. е. Fm6ji > FKpum, то с вероятностью а основная гипотеза о незначимости коэффициентов уравнения регрессии или парного коэффициента детерминации отвергается, и уравнение регрессии признается значимым;

если наблюдаемое значение F-критерия меньше критического значения данного критерия, т. е. Fm6ji < FKpum, то с вероятностью (1 — а) основная гипотеза о незначимости коэффициентов уравнения регрессии или парного коэффициента детерминации принимается, и построенное уравнение регрессии признается незначимым.

Критическое значение F-критерия находится по таблице распределения Фишера—Снедекора в зависимости от следующих параметров: уровня значимости а и числа степеней свободы: k1= h — 1 и k2= n — h, где n — это объем выборки, а h — число оцениваемых по выборке параметров. В случае проверки значимости уравнения парной регрессии критическое значение F-статистики вычисляется как Екрит(а; 1; n — 2).

Формула наблюдаемого значения F-критерия для проверки гипотезы о незначимости уравнения регрессии в целом имеет вид:

F =_£_ х ^zA;

шбл 1 — r2 h — 1'

ух

в случае парной регрессии наблюдаемое значение F-критерия преобразуется в вид:

= 7—V х (n — 2 ).

1 ух

Данный критерий имеет распределение Фишера—Снедекора.

Коэффициент детерминации можно определить не только как квадрат парного линейного коэффициента корреляции или через теорему о разложении общей дисперсии результативной переменной на составляющие, но и через теорему о разложении сумм квадратов результативной переменной.

Сумма квадратов разностей между значениями результативной переменной и ее средним значением по выборке может быть представлена таким образом:

2 (у, — у )2=2 (у,—у )2+2 (у—у )2,

;=1 ,=1 ,=1

у) — общая сумма квадратов (Total Sum Square — TSS);

у>і) — сумма квадратов остатков (Error Sum Square — ESS);

п

.2

2^yt — y ) — сумма квадратов объясненной регрессии (Re1=1 gression Sum Square — RSS).

В векторной форме данное равенство можно записать как:

|y—yf=|y—у|2+| Уі—уі2.

Рассмотрим общую сумму квадратов:

+ (у — Уі) х(у — y) +(y — Уі) х(у — у() =

(у — У)) х(У — Уі) = eT (xjS — ) = етхв — yeT = 0.

Если в уравнение регрессии не включается свободный член в0, это разложение остается верным.

Парный коэффициент детерминации может быть вычислен по следующим формулам:

ESS

TSS

или

RSS

TSS