Лекция № 14. тесты бокса—кокса. средние и точечные коэффициенты эластичности

Лекция № 14. тесты бокса—кокса. средние и точечные коэффициенты эластичности

Если существует выбор между построением линейной и нелинейной регрессионных моделей для изучаемых данных, то предпочтение всегда отдается более простой форме зависимости. Регрессионные модели, имеющие разную функциональную форму, не подлежат сравнению по стандартным критериям (например, сравнению по множественному коэффициенту детерминации или суммам квадратов отклонений), позволяющим выбрать наиболее подходящее уравнение.

При сравнении линейной и логарифмической регрессий оказывается, что общая сумма квадратов отклонений для логарифмической модели намного меньше, чем для линейной модели. Но значение логарифма результативной переменной log у намного меньше, чем соответствующее значение у, поэтому сравнение сумм квадратов отклонений моделей дает неадекватные результаты.

Коэффициент множественной детерминации для линейной регрессии характеризует объясненную регрессией долю дисперсии результативной переменной y. Коэффициент множественной детерминации для логарифмической модели характеризует объясненную регрессией долю дисперсии переменной log y. Если значения коэффициентов множественной детерминации примерно равны, то сделать выбор между моделями на основе данного критерия также не представляется возможным.

Использоваться метод проверки гипотезы о линейной зависимости между переменными с помощью коэффициента и индекса детерминации. Другим эффективным методом выбора функциональной зависимости является тест Бокса—Кокса. Рассмотрим эту процедуру на примере выбора между линейной и логарифмической регрессионными моделями.

В основе теста Бокса—Кокса лежит утверждение о том, что (y— 1) и log y являются частными случаями функции

'=

Если 1 равен единице, то функция равна F = y — 1. Если 1 стремится к нулю, то функция равна F = log y. Для определения оптимального значения параметра 1 проводятся эксперименты с множеством его значений. Эта процедура позволит найти то значение 1, которое дает минимальную величину суммы квадратов отклонений. Метод поиска оптимального значения параметра — поиск на решетке (или на сетке) значений.

Один из вариантов теста для линейной и логарифмической моделей разработан П. Зарембеки. Его идея заключается в применении процедуры масштабирования к зависимой переменной, что в дальнейшем позволит сравнивать величины сумм квадратов отклонений регрессий.

Тест Зарембеки состоит из следующих этапов:

1) определяется среднее геометрическое значений y в выборке

2) наблюдения пересчитываются по формуле:

по формуле:

где y — пересчитанное (масштабированное) значение переменной для /'-го наблюдения; 3) на последнем этапе оценивается регрессионная зависимость для линейной модели с использованием масштабированных значений y вместо y и для логарифмической модели

с использованием yi вместо log y.

Все факторные переменные и регрессионные коэффициенты остаются при этом неизменными. После масштабирования зависимых переменных значения сумм квадратов отклонений для данных регрессионных моделей являются величинами сопоставимыми. Выбор падает на ту модель, для которой данный показатель оказался наименьшим.

Средние и точечные коэффициенты эластичности

Помимо индексов корреляции и детерминации для нелинейных форм связи, для изучения зависимости между результативной переменной и факторными признаками используются также коэффициенты эластичности, которые позволяют оценить степень связи между x и y.

Коэффициент эластичности показывает, на сколько процентов приблизительно изменится результативный показатель y при изменении величины факторного признака на 1\%.

Общая формула коэффициента эластичности:

, X dy X dy y

Э = y x — =—x — = — / —,

x y dx y dx X

где y'x — первая производная результативной переменной по

факторному признаку. Коэффициент эластичности может быть рассчитан для среднего значения факторного признака по общей формуле:

v ' dxy (x )

где y (x ) — значение функции при среднем значении факторного признака.

Средний коэффициент эластичности характеризует процентное изменение результативного признака y относительно своего среднего значения при изменении факторного признака на 1\% относительного x.

Средние коэффициенты эластичности рассчитываются по индивидуальным формулам для каждой разновидности функции.

Для наиболее простой линейной зависимости вида yi = в0+ft1xj средний коэффициент эластичности рассчитывается как:

Э(x) y(x).

Для полинома второго порядка (параболической функции) yi = в0 + Plxj + j32x? + ei средний коэффициент эластичности рассчитывается по формуле:

)=(2fi2x +рх) х х

^x)= y(x) ■

Для показательной функции вида y = в0 х в х £t средний коэффициент эластичности определяется как:

Э (x ) = In в1 х x.

Основным достоинством степенной функции вида

Уі =Л х x 1 х£і

является то, что средний коэффициент эластичности Э (x) равен

коэффициенту регрессии fiу

э (x ) = Л

Это единственная функция подобного рода.

Помимо средних коэффициентов эластичности, могут быть также рассчитаны точечные коэффициенты эластичности. Общая формула их расчета:

т. е. эластичность зависит от конкретного заданного значения факторного признака x1. Точечный коэффициент эластичности характеризует процентное изменение результативной переменной y относительно уровня функции y(x1) при изменении факторного признака на 1\% относительно заданного уровня x1.

Для линейной зависимости точечный коэффициент эластичности будет рассчитываться по формуле:

Знаменателем данного показателя является значение линейной функции в точке.

Для параболической функции точечный коэффициент эластичности находится как:

(2 02 X +Л ) х x Л +/1x1 +вг x2 .

Знаменателем данного показателя также является значение параболической функции в точке.

Для показательной функции точечный коэффициент эластичности определяется по формуле:

Э(x1)= ln01 Xxj.

В случае степенной функции точечный коэффициент эластичности Э^) будет равен коэффициенту регрессии 0Х. Докажем предыдущее утверждение.

Запишем точечный коэффициент эластичности для степенной функции вида yi = 00 X x0j Xet через первую производную результативной переменной по заданной факторной переменной

xl:

Э (x ) = 000i xi 1 = 000i xi 1 = 0

Э )= 0 01 = 0 Р

00xi 00xi

x1

таким образом,Э(x1) = 01 , что и требовалось доказать.

Коэффициенты эластичности имеют очень большое значение в анализе производственных функций. Однако их расчет не всегда имеет смысл. В некоторых случаях интерпретация факторных переменных в процентном отношении невозможна или бессмысленна.

линейная ОПФ y = 0О + 01x. Данная функция выражает зависимость объема производимой продукции от величины затрат определенного ресурса. Линейная ОПФ характеризуется следующими особенностями:

а) если величина независимого признака x равна нулю, то

объем производства не будет нулевым, так как y = 0О 0О > 0);

б) объем произведенной продукции неограниченно увеличивается с ростом затрат определенного ресурса x на постоянную величину 01 01 >0). Это свойство линейной ОПФ

выполняется только на практике;

параболическая ОПФ приу.=0 +01x +02x2 при00 > 0, 01 > 0, 02 > 0.

ЛЕКЦИЯ № 15. Производственные функции. Эффект от масштаба производства

Особенностью данной функции является то, что с увеличением затрат ресурса x объем произведенной продукции у вначале возрастает до некоторой максимальной величины, а затем снижается до нуля;

3) степенная ОПФ у = в0 х xв прив0 > 0,в1 > 0. Функция характеризуется тем, что с увеличением затрат ресурса x объем

производства возрастает неограниченно;

4) показательная ОПФ вида у = в0 — k х в при 0 < в1< 0.

С возрастанием затрат ресурса x объем произведенной продукции также растет, стремясь при этом к значению в0

Гиперболическая ОПФ у = в0 + в1 / x практически не используется при изучении зависимости объема производства от затрат

какого-либо ресурса, так как нет необходимости в изучении ресурсов, увеличение которых приводит к уменьшению объема

производства.

Двухфакторные производственные функции характеризуют зависимость объема производства от каких-либо двух факторов.

Чаще всего это факторы объема основного капитала и трудовых ресурсов. К наиболее известным двухфакторным производственным функциям относятся функции Кобба—Дугласа и Солоу.

Для графического изображения двухфакторных производственных функций строят семейство кривых, основанных на различном сочетании двух факторов, но в результате они дают один и тот же объем выпуска продукции. Кривые, построенные на основании равенства /(x1,x2) = const, называются изоквантами. Изо-кванта — сочетание минимально необходимых ресурсных затрат для заданного уровня объема производства.

Многофакторная производственная функция (МПФ) имеет вид f(x), где i = 1,n. МПФ характеризует зависимость объема производства от n-го количества факторов производства.