2. эффект от масштаба производства. двухфакторная производственная функция солоу

2. эффект от масштаба производства. двухфакторная производственная функция солоу

Эффект от масштаба — изменение объема произведенной продукции при пропорциональном изменении затрат труда и капитала (для двухфакторной производственной функции).

Пусть изменение объема основного капитала составило пК, а увеличение объема трудовых затрат составило nL. Определим изменение объема производства для функции Кобба-Дугласа

Q = AхКахLf :

Q (n) = A х(пК а)х(пЕ3)= A х К ах Lf х паа+= Q х nа+в.

Функция имеет возрастающий эффект от масштабов производства, если (а + f) > 1, т. е. с увеличением факторов К и L в п раз объем производства возрастает в Q раз.

Функция имеет фиксированный эффект от масштабов производства если (а а f) = 1, т. е. с увеличением К и L в п раз объем производства также возрастает в п раз.

Функция имеет убывающий эффект от масштабов производства, если (а + f) < 1, т. е. с увеличением К и L в п раз объем производства возрастает меньшими, чем п, темпами.

Американским ученым Р. Солоу в 1956 г. предложена двух-факторная производственная функция вида:

—_1_

Q = <p(K ,L ) = A х[«х K ~р + (1 — а)х Е~р1р,

которая получила широкое применение.

Параметры A, р, а являются технологическими характеристиками функции Солоу и удовлетворяют условиям: A > 0, 0 < а < 1, р > 0. Параметр а имеет ту же размерность, что и факторные переменные.

Производственная функция Солоу имеет много преимуществ по сравнению с производственной функцией Кобба-Дугласа.

Функция Солоу является однородной относительно переменных, т. е. для нее также выполняется правило эффекта от масштаба производства:

—_

Q (n) = A х^х^ )—р + (1 — а)х^ )—Р)р =

— і_

= Aхnх(ахK—р + (1— а)хL~p) р = nхQ.

Данное равенство означает, что при увеличении факторов K и L в n раз объем произведенной продукции Q увеличивается также в n раз (если ). При уменьшении факторов K и L в n раз объем произведенной продукции Q также уменьшается в n раз (если 0 < n < 1).

Если один из факторов производственной функции Солоу равен нулю, например K = 0, то изменение объема производства будет линейно зависеть от изменения объема второго фактора, т. е. затрат труда. И, наоборот, если L = 0, то изменение Q линейно зависит от изменения затрат основного капитала.

Если зафиксировать факторную переменную Kна уровне K0, то объем произведенной продукции Q будет возрастать с увеличением фактора L. Аналогично, если зафиксировать переменную L на уровне L0, то объем произведенной продукции Q будет возрастать с увеличением фактора K. Для доказательства этого утверждения рассчитаем предельную производительность факторной переменной L:

ахK—р+(1 — а)хГ" ~~1 х(1 — а)х(—р) х^— р—1) = = [ах K—" + (1 — а)Гр ]—р—1 х(1 — а)— р—1 > 0.

Предельная производительность ресурса L всегда больше нуля.

Предельная производительность второго ресурса (объема основных фондов) также больше нуля, что говорит о возрастании объема произведенной продукции с увеличением второго фактора K и при фиксированном значении фактора L.

Функция Солоу характеризуется тремя технологическими параметрами A, р, а, для определения которых достаточно всего трех измерений переменных функции (основного капитала, трудовых затрат и объема производства).

Изоквантой для производственной функции Солоу является кривая, которая определяется равенством <p(L, K) = const.

Частный коэффициент эластичности функции Солоу по переменной :

Частный коэффициент эластичности функции Солоу по переменной K определяется по формуле: