3. мнк для функции кобба-дугласа. многофакторные производственные функции

3. мнк для функции кобба-дугласа. многофакторные производственные функции

Функция Кобба-Дугласа — нелинейный по параметрам класс функций, которые являются внутренне линейными. Оценки параметров данной функции можно найти с помощью метода наименьших квадратов.

Применим процесс логарифмирования к двухфакторной функции Кобба= Дугласа для приведения ее к линейному виду:

ln Q ln L = ln а + 0 (ln K ln L ),

или

ln Qj ln Lj = ln а + 0 (ln Kj ln Lj)+ єі; j = 1,24,

где є. — является случайной ошибкой функции.

Для дальнейших действий воспользуемся методом замен. Введем обозначения: y. = ln Qln L; b0 = ln а; b1 = 0; b = [b0 b1]T; xj= ln K ln L;; dT(x) = [0 xj].

Тогда функцию Кобба-Дугласа можно записать в виде:

yj =dT (xj )Xb + єj, j = 1,n.

Методом наименьших квадратов определяется оценка вектора Ъ неизвестных коэффициентов данного уравнения по формулам:

Ъ = У хЪх; Ъ

xy — x X y

1x

где x

j=1

среднее арифметическое значение переменной x;

п

1 У,

y

j=1

п

среднее арифметическое значение переменной y;

1 x

x2 =

п

среднее значение квадрата переменной x;

п

ЛіУі

xy =

j=1

п

среднее значение произведения переменных x и y.

Определив оценки Ъ0 и Ъ1 можно без труда найти оценки параметров A, а, в исходного регрессионного уравнения, т. е. собственно функции Кобба—Дугласа.

Многофакторная производственная функция (МПФ) имеет вид y = f(x), где і = 1, п. МПФ характеризует зависимость объема производства от п-го количества факторов производства. При изучении МПФ можно получить целый ряд важных расчетных экономических показателей.

Показатель средней производительности (эффективности, отдачи) і-го фактора при условии фиксированности всех остальных факторов определяется по формуле:

y f (xu ^ -, xn )

Предельная производительность (эффективность, отдача) і-го фактора рассчитывается как частная производная по фактору xi:

К = Л (xl, -, xn)

Определение характера изменения предельной производительности с изменением объема і-го фактора при фиксированном объеме остальных факторов рассчитывается частная производная второго порядка по фактору xi:

уіл = ^ (х, -, х„>

Если показатель у" х > 0, то предельная производительность увеличивается с увеличением объема і-го фактора.

Если y"x = 0, то можно найти такое значение объема і-го

і і

фактора, при котором предельная производительность будет или

минимальной, или максимальной.

Показатель частной эластичности і-го ресурса для многофакторной производственной функции дает характеристику относительного изменения результата производства на единицу относительного изменения і-го фактора:

Э = у' х Х-.

і у

Потребность производства в і-том факторе может быть выражена через функциональную зависимость вида:

Хі =P(y, X1, -, Xi"1, xi+l, -, Xn )

Для любой пары факторов производства і и j можно рассчитать предельную норму замещения j-го фактора i-тым фактором. Эта норма равна взятому со знаком минус отношению показателей предельной производительности і-го и j-го ресурсов:

При выборе конкретного вида производственной функции необходимо учитывать закономерности изменения всех вышеперечисленных показателей. Иногда выбранную форму ПФ приходится отвергать, так как соответствующая ей система показателей противоречит результатам качественного анализа или эмпирическим данным. Предварительные заключения о характере изменений рассмотренных показателей могут стать основным доводом в пользу выбора той или иной формы ПФ.