2. одномерный анализ фурье
2. одномерный анализ фурье
Использование рядов Фурье является одной из разновидностей спектрального анализа. Спектральный анализ временных рядов имеет весьма большое практическое значение, так как при моделировании и прогнозировании динамических рядов изучается вопрос о наличии и периоде сезонной компоненты в ряду. С помощью спектрального анализа можно определить в структуре временного ряда пик отклонений от тренда, что и позволит рассчитать длительность периодической компоненты ряда.
Суть спектрального анализа в том, что случайный стационарный процесс может быть представлен в виде суммы гармонических колебаний различных частот, которые называются гармониками. Функция, описывающая распределение амплитуд этого процесса по различным частотам, называется спектром.
Сезонную составляющую можно представить в виде модели разложения в ряд Фурье, где сезонные колебания представляют собой сумму нескольких синусоидальных и косинусоидальных гармоник с различными периодами:
У, =2 (ukcos a)kt + vksin Mk() ,
где uk, vk — некоррелированные случайные величины
с нулевым математическим ожиданием и одинаковыми дисперсиями, т. е.
D (щ )= D (vk ) = Dk;
<±>k — длина волны функции синуса или косинуса, выражаемая числом циклов (периодов) в единицу времени, т. е. частота. Цель спектрального анализа временных рядов — оценивание спектра ряда. Спектр временного ряда — разложение дисперсии ряда по частотам для определения значимых гармонических составляющих. Значение спектра рассчитывается:
m
ЛоСо + 22xCk cos, k=1
j — частоты, для которых оцениваются спектры: Wj автокорреляционная функция, значения
m
2
которой определяются так:
'п-к
1
п — к
п — к
2 z>+2 z>
Лх — специально подобранные веса значений ковариационной функции, зависящие от частоты m, которые называются корреляционным окном.
Корреляционные окна — преобразования взвешенного скользящего среднего с шириной окна m.
Дисперсия ряда Фурье будет определяться по формуле:
D (y, )= D
2 (ик cos wkt + ик sin wkt)
к=0 к=0
Дисперсия ряда Фурье равна сумме всех гармоник ее спектрального разложения. Можно сделать вывод, что дисперсия D(yt) распределена по различным частотам. Графически данное распределение можно изобразить с помощью периодограммы. Значения периодограммы обычно строятся в зависимости от частот или периодов. Период — величина, обратная частоте. Сущность анализа периодограммы сводится к тому, что необходимо найти частоты или периоды с большими спектральными плотностями, которые вносят наибольший вклад в периодические колебания
Перед применением спектрального анализа временной ряд необходимо привести к стационарному виду.
Обсуждение Эконометрика.Конспект лекций
Комментарии, рецензии и отзывы