1. структурная и приведенная формы системы одновременных уравнений. проблема идентификации модели

1. структурная и приведенная формы системы одновременных уравнений. проблема идентификации модели

Уравнения, из которых состоит исходная система одновременных уравнений, называются структурными уравнениями, а модель в данном случае имеет структурную форму. С помощью структурной формы модели непосредственно отражают реальный экономический процесс. Коэффициенты уравнений структурной формы называются структурными коэффициентами, или параметрами.

Структурные уравнения могут быть представлены либо поведенческими уравнениями, либо уравнениями—тождествами.

Поведенческие уравнения характеризуют все типы взаимодействия между эндогенными и экзогенными переменными. В поведенческих уравнениях значения параметров являются неизвестными и подлежат оцениванию. Примером поведенческого уравнения является уравнения спроса или предложения: Qst = a0 + a1 X Pt + a2 X Pt —1 или Qdt = b0 + b1 X Pt +b2 X It.

Тождествами называют равенства, выполняющиеся во всех случаях. Для них характерно, что их вид и значения параметров известны и они не содержат случайной компоненты. Примером уравнения-тождества является тождество равновесия в модели «спрос — предложение»: Qts = Qf.

Для определения неизвестных структурных параметров системы одновременных уравнений переходят к приведенной форме модели.

Приведенной формой модели называется система независимых уравнений, в которой все эндогенные переменные выражены только через экзогенные или предопределенные переменные и случайные компоненты, например:

yi = Cii Xi + Ci2 X2 ++ ci mXm + £1, . y2 = C2iXi + C22X2 + .-+ C2 mXm +Є2,

Уп = CniXi + Cn2X2 + " ■ + CnmXm + £n .

Коэффициенты приведенной формы называются приведенными коэффициентами, или параметрами, которые можно оценить традиционным методом наименьших квадратов. С помощью МНК-оценок приведенных коэффициентов определяются оценки структурных коэффициентов.

При переходе от структурной формы модели к приведенной форме возникает проблема идентификации модели.

Проблема идентификации заключается в возможности численной оценки неизвестных коэффициентов структурных уравнений по МНК-оценкам коэффициентов приведенных уравнений.

Исходная система одновременных уравнений является идентифицированной, если все ее уравнения точно идентифицированы. Уравнение является точно идентифицированным, если по оценкам коэффициентов приведенной модели можно однозначно найти оценки коэффициентов структурной модели. Признаком идентифицированности системы является равенство между количеством уравнений, определяющих структурные коэффициенты, и количеством этих коэффициентов, т. е. когда структурная система уравнений является квадратной.

Исходная система одновременных уравнений является сверх-идентифицированной, если среди уравнений модели есть хотя бы одно сверхидентифицированное. Уравнение является сверхиден-тифицированным, если по оценкам коэффициентов приведенной модели можно получить более одного значения для коэффициентов структурной модели.

Исходная система одновременных уравнений является неи-дентифицированной, если среди уравнений модели есть хотя бы одно неидентифицированное. Уравнение является неидентифи-цированным, если по оценкам коэффициентов приведенной модели невозможно рассчитать оценки коэффициентов структурной модели.

2. Необходимые и достаточные условия идентификации модели

Необходимые и достаточные условия идентификации применяются только к структурной форме модели. Введем обозначения:

N — количество предопределенных переменных в модели;

n — количество предопределенных переменных в уравнении, проверяемом на идентифицируемость;

M — количество эндогенных переменных в модели;

m — количество эндогенных переменных в уравнении, проверяемом на идентифицируемость;

K — матрица коэффициентов при переменных, не входящих в уравнение, проверяемое на идентифицируемость. Первое необходимое условие идентифицируемости уравнения

модели.

Уравнение модели идентифицируемо в том случае, если оно исключает хотя бы N 1 предопределенную переменную модели, т. е.:

(N n )+(M m )> N-1. Второе необходимое условие идентифицируемости уравнения модели.

Уравнение модели идентифицируемо в случае, если количество предопределенных переменных, не входящих в данное уравнение, будет не меньше числа эндогенных переменных этого уравнения минус единица, т. е.:

N n > m-1.

Достаточное условие идентифицируемости уравнения модели.

Уравнение модели идентифицируемо в случае, если ранг матрицы K равен N 1.

Ранг матрицы — размер наибольшей ее квадратной подматрицы, определитель которой не равен нулю.

Исходя из перечисленных условий идентификации можно сформулировать необходимые и достаточные условия идентифицируемости уравнения модели:

если M m > n 1 и ранг матрицы Kравен N 1, то уравнение модели считается сверхидентифицированным;

если M m = n 1 и ранг матрицы Kравен N 1, то уравнение модели считается точно идентифицированным;

если M m > n 1 и ранг матрицы K меньше N 1, то уравнение модели считается неидентифицированным;

если M m < n 1, то уравнение считается неидентифици-рованным, так как ранг матрицы Kбудет меньше N 1. Рассмотрим пример идентификации на основе структурной

модели спроса и предложения.

QSt = a0 +ai X Pt +a2 X Pt_i — уравнение предложения; Qd, = b0 + bi X Pt +b2 X It — уравнение спроса; Qt = Qf — тождество равновесия. Учитывая тождество, систему можно записать: Q = a0 + ai X Pt + a2 X P_ _i + єи, Q = b0 +bi XPt + b2 XIt + є2І.

Количество эндогенных переменных модели равно M = 2 (Pt и Qt), количество предопределенных переменных модели равно N = 2 (P, _i и I,).

Проверим выполнение первого условия идентифицируемости. Для функции спроса — m = 2, п = i.

Тогда (N_n)+(M_m) = (2_i)+(2_2)=i = (N_i)=i, уравнение точно идентифицировано. Для функции предложения —m = 2 , n = i.

Тогда (N_n)+(M_m) = (2_i)+(2_2)=i = (N_i)=i, уравнение точно идентифицировано.

Проверим выполнение второго необходимого условия идентифицируемости.

Для функции спроса — m = 2, n = i.

Тогда N _ n = 2 _ i = i = m _ i = 2 _ i = i, уравнение точно идентифицировано.

Для функции предложения — m = 2, n = i.

Тогда N _ n = 2 _ i = i = m _ i = 2 _ i = i, уравнение точно идентифицировано.

Проверим выполнение достаточного условия идентифицируемости. В данном случае достаточно, чтобы хотя бы один из коэффициентов матрицы K не был равен нулю, так как M _ i = i.

В первом уравнении исключена переменная It. Матрица K = [b2]. Определитель данной матрицы не равен нулю, следовательно, rank = i = M _ i и уравнение идентифицировано.

Во втором уравнении исключена переменная Pt_ i. Матрица K =[а2]. Определитель данной матрицы не равен нулю, следовательно, rank = i = M _ i, и уравнение идентифицировано.

Уравнения спроса и предложения точно идентифицированы, следовательно, система уравнений в целом точно идентифицирована.

Составим приведенную форму данной системы:

Q = A + A2 XIt + A3 XPt_x + vi; P = Bi + B2 XI, + B3 XPt_x + v2.

Каждое уравнение системы одновременных уравнений не может рассматриваться как самостоятельная часть системы, поэтому применение традиционного метода наименьших квадратов для определения его параметров невозможно, так как нарушаются условия МНК:

одновременная зависимость между переменными модели, т. е. в первом уравнении У1 — это функция от У2, а во втором уравнении У2 — это функция от У1;

проблема мультиколлинеарности, т. е. во втором уравнении системы у2 зависит от x1, а в других уравнениях обе переменные выступают в качестве факторных;

случайные ошибки уравнения коррелируют с результативными переменными.

Применение МНК к оцениванию параметров одновременных уравнений дает смещенные и несостоятельные оценки.

Для получения оценок параметров системы одновременных уравнений, удовлетворяющих свойствам эффективности, несмещенности и состоятельности, применяется косвенный метод наименьших квадратов (КМНК). КМНК пользуются в случае, если структурная форма модели является точно идентифицированной.

Алгоритм КМНК включает в себя следующие шаги: