1. двухшаговый метод наименьших квадратов

1. двухшаговый метод наименьших квадратов

Если уравнение сверхидентифицировано, то оценки его параметров нельзя определить косвенным методом наименьших квадратов. Обычный МНК также применять нельзя в связи c нарушением основных предпосылок его применения. В данном случае могут использоваться различные методы оценивания неизвестных параметров, однако наиболее простым и распространенным является двухшаговый метод наименьших квадратов (ДМНК).

Двухшаговый метод наименьших квадратов реализуется в несколько этапов:

на основе структурной формы модели составляется ее приведенная форма;

с помощью обычного метода наименьших квадратов определяются оценки коэффициентов приведенных уравнений;

рассчитываются значения тех эндогенных переменных, которые выступают в качестве факторных в сверхидентифици-рованном уравнении;

с помощью обычного метода наименьших квадратов определяются все структурные параметры уравнений системы через предопределенные переменные, входящие в это уравнение в качестве факторов, и значения эндогенных переменных, полученных на предыдущем шаге.

Данный метод наименьших квадратов называется двухшаго-вым, потому что МНК используется дважды: первый раз для определения оценок эндогенных переменных приведенной формы и второй раз для определения оценок структурных параметров уравнений системы.

Сверхидентифицированная структурная модель может быть двух видов:

помимо сверхидентифицированного уравнения, в модели также содержатся точно идентифицированные уравнения;

все уравнения модели являются сверхидентифицированными. В первом случае оценки структурных коэффициентов точно

идентифицированного уравнения определяются на основании системы приведенных уравнений. Во втором случае оценки структурных коэффициентов системы определяются с помощью двухшагового метода наименьших квадратов.

Если все уравнения системы являются точно идентифицированными, то оценки структурных коэффициентов, полученные КМНК, будут совпадать с оценками, полученными ДМНК. Применение обычного МНК к оценке параметров сверхиденти-фицированного уравнения невозможно, так как в уравнении в качестве факторной переменной выступает эндогенная переменная yt. В данном случае можно перейти к такой переменной, которая удовлетворяла бы условиям нормальной линейной регрессионной модели. Делается это с помощью метода инструментальных переменных (IV — Instrumental variables). Его суть состоит в следующем.

Переменная У из правой части уравнения, для которой нарушается предпосылка МНК, заменяется на новую переменную у*, удовлетворяющую следующим двум требованиям:

она должна тесно коррелировать с переменной yt cov(yt, у* ) * 0;

она не должна коррелировать со случайной компонентой єt: cov(y*, є).

Переменные, удовлетворяющие данным требованиям, называются инструментальными переменными.

Далее оценивают уравнение регрессии с новой инструментальной переменной у* с помощью обычного МНК.

Обычно метод инструментальных переменных используется в приведенной форме сверхидентифицированного уравнения. Поэтому ДМНК также называется обобщенным методом инструментальных переменных.

ДМНК может применяться и для оценки точно идентифицированных уравнений.

2. Пример применения косвенного метода наименьших квадратов для оценки параметров точно идентифицированного уравнения

Рассмотрим применение косвенного метода на примере структурной модели спроса и предложения вида:

Qt = a0 + a1 x р +a2 x р-1 + єи — уравнение предложения;

Qt = b0 + b1 x р +b2 x It + єа — уравнение спроса.

Как было показано раньше, структурная модель спроса и предложения является точно идентифицированной, поэтому для оценивания ее параметров можно применить косвенный метод наименьших квадратов.

Эндогенными переменными в данной модели являются Qt — объем товара и Pt — цена товара, а предопределенными переменными являются It — доход потребителей и Pt — 1 — цена товара в предыдущий момент времени. £1t и £2t являются случайными компонентами, а a0, a1, a2, b0, b1, b2 — структурными параметрами модели.

С помощью косвенного МНК найдем оценки структурных параметров уравнений системы.

Запишем исходную модель спроса и предложения в приведенной форме:

Q = A1 + A2 Xlt + A3 xPt—1 +v1, P, = Bx + B2 X I, + B3 X P, —1 + V2.

Оценки коэффициентов приведенной формы определяются с помощью обычного метода наименьших квадратов.

В этом случае систему нормальных уравнений для определения коэффициентов первого уравнения приведенной системы можно записать в виде:

n X A1 + a2 X2It + A3 X2Pt—1 = eq,

' A i, + A2 X^i? + a3 X^i, XP,—1 = ^QXi,,

a p,—1 + A X^p, Xi, + a3 X2p,—1 = ^QXp,—1.

Подставим значения переменных, определенных по таблице 4, в уравнения системы:

10 A1 +129 A2 +62 A3 = 655, -129A1 +16 641A2 +7 998 A3 =84 495, 62A1 +8 127A2 +3 844A3 =40 610.

Решив данную систему нормальных уравнений методом Крамера, получаем оценки неизвестных коэффициентов первого уравнения приведенной формы:

A1 = 44,7,

A2 = — 1,12,

A3 = 2,15.

Система нормальных уравнений для определения коэффициентов второго уравнения приведенной системы записывается аналогично.

Ее решением будут следующие числа:

81 = 89,6,

82 =-7,2,

83 =1,67.

Окончательно оцененные уравнения приведенной формы модели можно записать в виде:

Q = 44,7-1,12 хI, +2,15 хP,_„

[р = 89,6-7,2 хIt +1,67 хi>(-1.

3. На основании полученных оценок параметров приведенных уравнений можно определить оценки структурных параметров модели. Рассчитаем первое уравнение структурной формы модели, т. е. зависимость Qt от Pt и Pt 1. Необходимо выразить из второго уравнения приведенной формы переменную It

= 8Я6 + 1,67 р —1_р = 12,4 + 0,23р -0,14 р.

7,2 7,2 -17,2 -1

Подставим данное выражение в первое уравнение приведенной формы модели:

Q = 44,7 + 1,12 х(12,4 + 0,23р-1 0,14р) + 2,15р-1 =

=172,2 + 2,4 р-1 0,16 р

Оценки первого уравнения структурной формы записывают: «0 = 172,2, «1 = -0,16, «2 = 2,4.

Для определения параметров второго уравнения структурной формы, представляющего собой зависимость переменной Q от р и I , необходимо выразить из второго уравнения приведенной формы модели переменную р' 1:

89,6 7, 2 1

р , =—9^ +— I, + р =-53,6 + 4,31, + 0,6р.

,-1 1,67 1,67 ' 1,67 ' ' '

Далее подставим выражение в первое уравнение приведенной формы модели:

Q = 44,7 + 1,121' +2,15 х(-53,6 + 4,31, +0,6р )= = -70,5 + 10,4 I, + 1,3 р

Оценки второго уравнения структурной формы модели записывают:

b0 = 70,5; b, = 1,3; b2 = 10,4.

В результате проведенных вычислений структурную форму модели спроса и предложения можно записать в следующем виде:

Q, = i72,2 _ 0,i6P, +2,4 Pt_,, Qt =_70,5 + i,3P, +i0,41,.

Рассчитаем коэффициенты множественной детерминации для каждого структурного уравнения как показатели качества построенной модели.

Для уравнения предложения: R2 = 0,i, т. е. построенное уравнение на 8i\% объясняет дисперсию зависимой переменной в общем объеме ее дисперсии.

Для уравнения спроса: R2 = 0,76, т. е. построенное уравнение на 76\% объясняет дисперсию зависимой переменной в общем объеме ее дисперсии.