3. метод амина

3. метод амина

Метод Алмона или лаги Алмона используются для описания моделей с распределенным лагом, имеющим полиномиальную структуру лага и конечную величину лага L:

у, =00 +01х x, +02 х x,-1 + ...+0lх x,-l + е. (1)

Структура лага определяется при помощи графика зависимости параметров при факторных переменных от величины лага. Суть метода Алмона состоит в следующем:

зависимость коэффициентов при факторных переменных0І от величины лага i аппроксимируется полиномиальной функцией:

а) первого порядка 0t = c0 + c1 х i;

б) второго порядка 0t = c0 + c1 х i + c2 х i2;

в) третьего порядка 0І = c0 + c1 х i + c2 х i2 + c3 х i3;

г) или в общем случае порядка р:

0 = c0 + c1 хі + c2 хі2 + ... + cр хір.

Алмон доказал, что во многих случаях легче оценить коэффициенты ci, і = 0,р, чем непосредственно коэффициенты 0, Этот метод оценивания коэффициентов 0i называется полиномиальной аппроксимацией;

каждый коэффициент модели (1) можно выразить так:

02 = С0 + С1 + -+ Ср ;

03 = c0 + 2c1 + 4c2 + ^+ 2PcP;

04 = c0 +3c1 + 9c2 + _ + 3PcP;

0L = c0 + Lc1 + L2c2 + ^ + LPcP.

Подставим полученные соотношения для коэффициентов Д в модель (1):

У, =Д0 + c0 х Х, + (c0 +c1 +--+ cp ) x x,_ + + (c0 +2c1 + 4c2 + ...+ 2PcP ) x x,_2 + ...+ + (c0 + Lcx + L2c2 +... + LFcP) x xt_L + st;

применим процедуру перегруппировки слагаемых к полученному выражению:

У =Д0 + С0 x (X, + Х,_1 + X,_2 + + X,_L ) +

+ c1 x (xt_1 + 2 x,_2 + 3х,_з +... + Lx,_L ) +

+ С2 x (X,_1 + 4X,_2 + 9x,_3 + . • ■ + L2x_L ) ++

+ cP x(x,_1 + 2Fxt_2 + 3Fxt_3 + ... + LFxt_L) +£,.

Обозначим слагаемые в скобках при коэффициентах c, i = 0,P как новые переменные:

L

Z0 = Х1 + Х,_1 + Х,_2 + ■ + X,_L = 2Х_ ;

L

z1 = Х,_1 + 2х,_2 + 3х,_3 + + lx,_l = 2i x Xl_i;

L

z2 = X,_1 + 4x,_2 + 9x,_3 ++ l2x,_l = 2 x Х_;

=0

L

Zp = X,_1 + 2Px,_2 +3Ч_3 +-+ Ll"X,_L = x X,_i.

С учетом новых переменных модель примет вид:

y =Д0 + c0Z0 + c1Z1 ++ cpzp + £,; (2)

коэффициенты новой модели (2) определим с помощью обычного МНК. На основе полученных оценок коэффициентов ci (i = 0, L ) найдем оценки параметров исходной модели (1) — Д (i = 1,L), используя соотношения, полученные на первом шаге.

Недостатки метода Алмона:

величина максимального временного лага L должна быть известна заранее, что на практике почти не встречается.

Одним из способов определения величины лага L является построение показателей тесноты связи, например линейных парных коэффициентов корреляции, между результативной переменной у и лаговым значением факторного признака x: r (у, xt-1), r (у, xt-2 ) и т. д. Если показатель тесноты связи значим, то данную переменную следует включить в модель с распределенным лагом. Порядок максимального значимого показателя тесноты связи принимается в качестве максимальной величины лага L;

неизвестен порядок полинома P. При выборе полиномиальной функции обычно исходят из того, что на практике не используются полиномы более второго порядка, а выбранная степень полинома должна быть на единицу меньше числа экстремумов в структуре лага;

если между факторными признаками существует сильная связь, то новые переменные z (i = 0, L ), которые определяются как линейная комбинация исходных факторов x, будут также коррелировать между собой. Проблема мультиколлинеар-ности в преобразованной модели регрессии (2) устранена не полностью. Но тем не менее мультиколлинеарность новых переменных zi в меньшей степени отражается на оценках параметров исходной модели (1) 3 (i = ^ L ), чем в случае применения обычного МНК к данной модели.

Преимущества метода Алмона:

в случае небольшого количества переменных в преобразованной регрессионной модели (2) (P = 2,3), не приводящего к значительной потере числа степеней свободы, с помощью метода Алмона можно построить модели с распределенным лагом вида (1) любой длины, т. е. максимальный лаг L может быть достаточно большим;

метод Алмона является универсальным и может быть применен для моделирования процессов, характеризующихся различными структурами лагов.