2.1. случайные величины и их числовые характеристики

2.1. случайные величины и их числовые характеристики

Вероятностью Р(А) события А называется численная мера степени объективной возможности появления этого события.

Согласно классическому определению вероятность события А равна отношению числа случаев т, благоприятствующих ему, к общему числу случаев я, т.е. Р(А)= т/п. При определенных условиях в качестве оценки вероятности события Р(А) может быть использована статистическая вероятность Р*(А), т. е. относительная частота (частость) W(A) появления события А в п произведенных испытаниях.

Одним из важнейших понятий теории вероятностей является понятие случайной величины.

Под случайной величиной понимается переменная, которая в результате испытания в зависимости от случая принимает одно из возможного множества своих значений (какое именно — заранее не известно).

Более строго случайная величина X определяется как функция, заданная на множестве элементарных исходов (или в пространстве элементарных событий), т.е.

X = fH

где со — элементарный исход (или элементарное событие, принадлежащее пространству Q , т. е. сое Q ).

Для дискретной случайной величины множество S возможных значений случайной величины, т.е. функции /(со), конечно

или счетно1, для непрерывной — бесконечно и несчетно. Примеры случайных величин:

X — число родившихся детей в течение суток в г. Москве;

Y— число произведенных выстрелов до первого попадания;

Z — дальность полета артиллерийского снаряда.

Здесь X, Y — дискретные случайные величины, a Z — непрерывная случайная величина.

Наиболее полным, исчерпывающим описанием случайной величины является ее закон распределения.

Законом распределения случайной величины называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями.

Для дискретной случайной величины закон распределения может быть задан в виде таблицы, аналитически (в виде формулы) и графически.

Например,

или

Такая таблица называется рядом распределения дискретной случайной величины.

Для любой дискретной случайной величины

Хр(х = х,.)=£л=1.

(2.1)

/=1

1=1

Если по оси абсцисс откладывать значения случайной величины, по оси ординат — соответствующие их вероятности, то получаемая (соединением точек) ломаная называется многоугольником или полигоном распределения вероятностей.

Напомним, что множество называется счетным, если его элементы можно перенумеровать натуральными числами.

► Пример 2.1. В лотерее разыгрывается: автомобиль стоимостью 5000 ден. ед., 4 телевизора стоимостью 250 ден. ед., 5 видеомагнитофонов стоимостью 200 ден. ед. Всего продается 1000 билетов по 7 ден. ед. Составить закон распределения чистого выигрыша, полученного участником лотереи, купившим один билет.

Решение. Возможные значения случайной величины X — чистого выигрыша на один билет — равны 0 — 7 = — 7 ден. ед. (если билет не выиграл), 200 7 = 193, 250 7 = 243, 5000 7 = =4993 ден. ед. (если на билет выпал выигрыш — видеомагнитофон, телевизор или автомобиль соответственно). Учитывая, что из 1000 билетов число невыигравших составляет 990, а указанных выигрышей 5, 4 и 1 соответственно; используя классическое определение вероятности, получим:

Р(Х=-1) = 990/1000 = 0,990; Р(Х=№) = 5/1000=0,005;

Р(Х=243) = 4/1000 = 0,004; Р (Л=4993)=1/1000=0,001,

т.е. ряд распределения

Две случайные величины называются независимыми, если закон распределения одной из них не меняется от того, какие возможные значения приняла другая величина.

Закон (ряд) распределения дискретной случайной величины дает исчерпывающую информацию о ней, так как позволяет вычислить вероятности любых событий, связанных со случайной величиной. Однако такой закон (ряд) распределения бывает трудно обозримым, не всегда удобным (и даже необходимым) для анализа.

Поэтому для описания случайных величин часто используются их числовые характеристики — числа, в сжатой форме выражающие наиболее существенные черты распределения случайной величины. Наиболее важными из них являются математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение и др. Обращаем внимание на то, что в силу определения, числовые характеристики случайных величин являются числами неслучайными, определенными.

Математическим ожиданием, или средним значением, М(Х) дискретной случайной величины X называется сумма произведений всех ее значений на соответствующие им вероятности:

п

М(Х) = -£хіРі.

(2.2)

(Для математического ожидания используются также обозначения: Е(Х),Х.)

► Пример 2.2. Вычислить М(Х) для случайной величины X — чистого выигрыша по данным примера 2.1.

Решение. По формуле (2.2)

М(Х) = (7)0,990 +193 • 0,005 + 243 • 0,004 + 4993-0,001 = 0,

т.е. средний выигрыш равен нулю. Полученный результат означает, что вся выручка от продажи билета лотереи идет на выигрыши. ►

При я->оо математическое ожидание представляет сумму ряда

00

' если он абсолютно сходится.

Свойства математического ожидания:

М( С) = С, где С — постоянная величина;

М(кХ) = кМ(Х);

М(Х± Y) = М(Х) ± M(Y);

M(XY) = М(Х) • M(Y), где Х9 Y— независимые случайные величины;

М(Х± С) = М(Х) ± С;

М{Ха) = 0, где а = М{Х).

Дисперсией D(X) случайной величины X называется математическое ожидание квадрата ее отклонения от математического ожидания:

или

D(X) = М[ХМ(Х)]2, D(X) = М(Х~ а)2, где а = М(Х).

(2.3)

(Для дисперсии случайной величины X используется также обозначение Var(Ji).)

Дисперсия характеризует отклонение (разброс, рассеяние, вариацию) значений случайной величины относительно среднего значения.

Если случайная величина X — дискретная с конечным числом значений, то

D(X) = ±{xi-afpi.

(2.4)

Дисперсия D(X) имеет размерность квадрата случайной величины, что не всегда удобно. Поэтому в качестве показателя

рассеяния используют также величину ^D(X).

Средним квадратическим отклонением (стандартным отклонением или стандартом) сх случайной величины X называется арифметическое значение корня квадратного из ее дисперсии:

ох=Щх). (2.5)

Пример 2.3. Вычислить дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины X по данным примера 2.2.

Решение. В примере 2.2 было вычислено М(Х) = 0. По формулам (2.4) и (2.5)

D(X) = (-7 О)2 • 0,990 + (193 О)2 • 0,005 + + (243 О)2 • 0,004 + (4993 О)2 • 0,001 = 25401,

ах = JD(X) = V25401 =159,38 (ден. ед.). ►

Свойства дисперсии случайной величины:

Д С) = 0, где С — постоянная величина;

D(kX) = k2D(X)

D(X) = М(Х2) а2, где а = М(Х)

D(X + Y) = ЩХ Y) = D(X) + ДГ), где Хи Y— независимые случайные величины.

Пример 2.4. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Z= &Х — 5Y + 7, если даны М(Х) = 3, M(Y) = 2, D(X) = 1,5 и Д}) = 1 и известно, что Хи Y — независимые случайные величины.

Решение. Используя свойства математического ожидания и дисперсии, вычислим:

M(Z) = SM(X) 5M(Y) + 7 = 8352 + 7 = 21; D(Z) = 82ДА) + 52D(Y) + 0 = 82 • 1,5 + 52 • 1 = 121. ► 2.2. Функция распределения случайной величины. Непрерывные случайные величины

Функцией распределения случайной величины X называется функция F(x), выражающая для каждого х вероятность того, что случайная величина X примет значение, меньшее х:

F(x)=P(x<x). (2.6)

► Пример 2.5. Дан рад распределения случайной величины

X:

Найти и изобразить графически ее функцию распределения. Решение.В соответствии с определением

F(x) = 0 при х < 1; F(x) = 0,4 при 1 < х < 4;

F(x) = 0,4 + 0,1 = 0,5 при4<х<5; F(x) = 0,5 + 0,5 = 1 при х > 5. Итак (см. рис. 2.1):

при х < 1; 0,4 при к х < 4; 0,5 при 4 < х < 5;

при х > 5.

Свойства функции распределения: 1. Функция распределения случайной величины есть неотрицательная функция, заключенная между нулем и единицей:

0<F(x)<l.

Функция распределения случайной величины есть неубывающая фуНКЦИЯ На ВСЄЙ ЧИСЛОВОЙ ОСИ, Т.е. При Х2>Х

F(x2)>F{x{).

На минус бесконечности функция распределения равна нулю, на плюс бесконечности — равна единице, т.е.

F(-oo)= lim F(jc) = 0, F(+oo)= lim F(jc) = 1.

Jt—>-oo Jt—>+00

Вероятность попадания случайной величины X в интервал [хьх2) (включая х) равна приращению ее функции распределения на этом интервале, т.е.

Р(хх <Х<х2)= F(x2)-F(x{) . (2.7)

► Пример 2.6. Функция распределения случайной величины имеет вид:

F(x) =

0 при х < 0; х/2 при 0 < х < 2;

1 при х > 2.

Найти вероятность того, что случайная величина X примет значение в интервале [1;3).

Решение. По формуле (2.7)

P(l<X<3)=F(3)-F(l) = l-i = i ►

Случайная величина X называется непрерывной, если ее функция распределения непрерывна в любой точке и дифференцируема всюду, кроме, быть может, отдельных точек.

Для непрерывной случайной величины X вероятность любого отдельно взятого значения равна нулю, т.е. Р(Х = *i)=0, а вероятность попадания X в интервал (х, х^} не зависит от того, является ли этот интервал открытым или закрытым (т.е., например, Р(хх < X < х2) = Р(хх < X < х2)).

Плотностью вероятности (плотностью распределения или просто плотностью) ф(х) непрерывной случайной величины X называется производная ее функции распределения

q>(jc) = F'(jc). (2.8)

Плотность вероятности ф(х), как и функция распределения

F(x), является одной из форм закона распределения, но в отличие от функции распределения она существует только для непрерывных случайных величин.

График плотности вероятности называется кривой распределения.

► Пример 2.7. По данным примера 2.6 найти плотность вероятности случайной величины X.

Свойства плотности вероятности непрерывной случайной величины:

Плотность вероятности — неотрицательная функция, т.е. ф(я:)>0.

Вероятность попадания непрерывной случайной величины в интервал [a,b] равна определенному интегралу от ее плотности вероятности в пределах от а до Ъ (см. рис. 2.2), т.е.

Р{а < X < Ь) = J\{x)dx. (2.9)

3. Функция распределения непрерывной случайной величины (см. рис. 2.3) может быть выражена через плотность вероятности по формуле:

F(x) = jjp(x)dx. (2.10) 31

4. Несобственный интеграл в бесконечных пределах от плотности вероятности непрерывной случайной величины равен единице:

**<f>(x)dx = L (2.11)

J -00

Геометрически свойства 1 и 4 плотности вероятности означают, что ее график — кривая распределения — лежит не ниже оси абсцисс, и полная площадь фигуры, ограниченной кривой распределения и осью абсцисс, равна единице.

Для непрерывной случайной величины X математическое ожидание М(Х) и дисперсия D(X) определяются по формулам:

а = М{х)= f+°°x(p(xWx (2.12)

J —00

(если интеграл абсолютно сходится);

D(x) = J +2 (х а)2 ф (х) dx , (2.13)

или D(x) = j x2<p(x)dx-a2

(если приведенные интегралы сходятся).

Наряду с отмеченными выше числовыми характеристиками для описания случайной величины используется понятие квантилей и процентных точек.

Квантилем уровня q (или q-квантилем) называется такое значение хд случайной величины, при котором функция ее распределения принимает значение, равное q, т. е.

f(xq)=P (X < xq) = q. (2.14)

I00q\%-ou точкой называется квантиль x-q.

► Пример 2.8.

По данным примера 2.6 найти квантиль я^з и 30\%-ную точку случайной величины X.

Решение. По определению (2.16) f(x03) = 0,3, т. е.

= 0,3, откуда квантиль х03 = 0,6. 30\%-ная точка случайной величины X, или квантиль хі-о,з = xqj, находится аналогично из уравнения = 0,7 , откуда xqj = 1,4. ►

Среди числовых характеристик случайной величины выделяют начальные и центральные моменты к-го порядка, определяемые для дискретных и непрерывных случайных величин по формулам:

v* = 2>* Pi; vk = ГГ**ф WЛ;

/=і

/=і