2.7. точечные и интервальные оценки параметров

2.7. точечные и интервальные оценки параметров

Оценкой 0„ параметра 0 называют всякую функцию результатов наблюдений над случайной величиной X (иначе — статистику), с помощью которой судят о значениях параметра 0.

В отличие от параметра, его оценка 0„ — величина случайная. «Наилучшая оценка» 0Л должна обладать наименьшим рассеянием относительно оцениваемого параметра 0, например, наименьшей величиной математического ожидания квадрата отклонения оценки от оцениваемого параметра М( 9„ — 0)2.

Оценка 0„ параметра 0 называется несмещенной, если ее математическое ожидание равно оцениваемому параметру, т. е. М( 0„) = 0.

В противном случае оценка называется смещенной.

1 Приведенная формулировка не является точной и дает лишь понятие о теореме Ляпунова.

Если это равенство не выполняется, то оценка 9Л, полученная по разным выборкам, будет в среднем либо завышать значение 0 (если M(Qn) > 0, либо занижать его (если M(Qn) < 0). Таким образом, требование несмещенности гарантирует отсутствие систематических ошибок при оценивании.

Оценка Qn параметра 0 называется состоятельной, если она

удовлетворяет закону больших чисел, т.е. сходится по вероятности к оцениваемому параметру:

\тР{

е„-е

<е) = 1,

(2.40)

или

В случае использования состоятельных оценок оправдывается увеличение объема выборки, так как при этом становятся маловероятными значительные ошибки при оценивании. Поэтому практический смысл имеют только состоятельные оценки.

Несмещенная оценка 0„ параметра 0 называется эффективной, если она имеет наименьшую дисперсию среди всех возможных несмещенных оценок параметра 0, вычисленных по выборкам одного и того же объема п.

Так как для несмещенной оценки M(Qn — 0)2 есть ее дисперсия а| , то эффективность является решающим свойством,

определяющим качество оценки.

Для нахождения оценок параметров (характеристик) генеральной совокупности используется ряд методов.

Согласно методу моментов определенное количество выборочных моментов (начальных или центральных или тех и других) приравнивается к соответствующим теоретическим моментам распределения или ik случайной величины X.

Основным методом получения оценок параметров генеральной совокупности по данным выборки является метод максимального правдоподобия.

Основу метода составляет функция правдоподобия, выражающая плотность вероятности (вероятность) совместного появления результатов выборки х, л^,..., хп:

L(xx, хъ..., хп 0) = ф(хЬ0) ф(х2,0)... ф(х/,0)... ф(хл,0),

или

L(xx, хъ..., хп; 0) = ПфС^Є). (2-41)

і=і

Согласно методу максимального правдоподобия в качестве оценки неизвестного параметра 9 принимается такое значение

9„, которое максимизирует функцию L. Естественность подобного подхода к определению статистических оценок вытекает из смысла функции правдоподобия, которая при каждом фиксированном значении параметра является мерой правдоподобности

получения наблюдений. И оценка 9,, такова, что имеющиеся у нас наблюдения являются наиболее правдоподобными.

Достоинством метода максимального правдоподобия является то, что получаемые им оценки состоятельны, асимптотически (при л-»оо) эффективны и имеют асимптотически (при л-»оо) нормальное распределение.

Пусть для оценки параметров распределения случайной величины X отобрана случайная выборка, состоящая из значений

п

jq, *2,..., хпНайдены выборочные характеристики: х = — —

п

выборочная средняя; s2 =— выборочная дисперсия

п

(где /і,— частоты значений jc/); w = — — выборочная доля (где т

п

элементов выборки из п обладают данным признаком).

Тогда х и w — несмещенные, состоятельные и эффективные (для нормально распределенной генеральной совокупности) оценки соответственно математического ожидания а и вероятности р, a s2 — смещенная, но состоятельная оценка дисперсии а2.

Исправленная выборочная дисперсия s2 = s2=— —

п -1 /7-1

несмещенная и состоятельная оценка дисперсии а2.

Наряду с точечными оценками параметров (в виде одного числа) рассматривают интервальные оценки.

Интервальной оценкой параметра 9 называется числовой интервал (9^,9^2)), который с заданной вероятностью у накрывает неизвестное значение параметра 9.

Такой интервал (0^1}, 0^2)) называется доверительным, а вероятность у — доверительной вероятностью или надежностью оценки.

Величина доверительного интервала существенно зависит от объема выборки п (уменьшается с ростом п) и от значения доверительной вероятности у (увеличивается с приближением у к единице).

Приведем примеры построения доверительных интервалов (см. [12]).

Пусть: х, Х2,..., хп — повторная выборка из нормально распределенной генеральной совокупности; х — выборочная средняя; х0 — генеральная средняя;

s — выборочное среднее квадратическое отклонение;

аг = J — среднее квадратическое отклонение выборочV пной средней (средняя квадратическая ошибка выборки).

Учитывая, что статистика ——fo__*—^2.^-1 имеет ґ-расs _

пределение Стьюдента с п — 1 степенями свободы, доверительный интервал для генеральной средней х0 на уровне значимости а определяется по формуле:

Л (2.42)

1 *-1-а,/7-1 і —

Пyjn-l

ns2

Учитывая, что статистика имеет ^-распределение с п— 1

степенями свободы, доверительный интервал для генеральной дисперсии а2 на уровне значимости а определяется по формуле:

ns2 ns2

(2.43)