3.2. линейная парная регрессия

3.2. линейная парная регрессия

Рассмотрим в качестве примера зависимость между сменной добычей угля на одного рабочего Y(t) и мощностью пласта Дм) по следующим (условным) данным, характеризующим процесс добычи угля в п = 10 шахтах.

Изобразим полученную зависимость графически точками координатной плоскости (рис. 3.1). Такое изображение статистической зависимости называется полем корреляции.

S = £(&-Уі)2 = Z(*o -Л)' -> min . (3.4)

Следует отметить, что для оценки параметров и Ь возможны и другие подходы. Так, например, согласно методу наименьших модулей следует минимизировать сумму абсолютных

п

величин отклонений 21-й ".У/1* Однако метод наименьших

/=і

квадратов существенно проще при проведении вычислительной

процедуры и дает, как мы увидим далее, хорошие по статистическим свойствам оценки. Этим и объясняется его широкое применение в статистическом анализе.

На основании необходимого условия экстремума функции двух переменных S=S(bo, b) (3.4) приравниваем к нулю ее частные производные, т. е.

^ = 22(АЬ+М/-Л) = 0;

^ = 2]Г(бо + bxxt-Уі)хі=09 ,obx ых

откуда после преобразований получим систему нормальных уравнений для определения параметров линейной регрессии:

/=і

(3.5)

, /=і /=і /=і

Теперь, разделив обе части уравнений (3.5) на я, получим систему нормальных уравнений в виде:

(3.6)

(b0+bxx = y;

[b0x + Ьгх2 = ху, где соответствующие средние определяются по формулам:

i=j

(3.7)

ху

(3.9)

2>?

(3.8)

xі = -^L

Подставляя значение

Ь0 = у-Ъхх

из первого уравнения системы (3.6) в уравнение регрессии (3.3), получим

у = y-bxx + bxx,

или

у у Ъх (х jc). (3.12)

х = 94/10 = 9,4 (м); у = 68/10=6,8 (т); s2x = 908/109,42= 2,44; Cdv(X, Y) = 664/10 9,4 • 6,8 = 2,48; Ьх =2,48/2,44= 1,016. Итак, уравнение регрессии Y по X:

j>-6,8 = 1,016(jc-9,4) или j> = 2,75 +1,06х.

Из полученного уравнения регрессии (см. рис. 3.1) следует, что при увеличении мощности пласта X на 1 м добыча угля на одного рабочего Y увеличивается в среднем на 1,016 т (в усл. ед.) (отметим, что свободный член в данном уравнении регрессии не имеет реального смысла). ►

Замечание. Значения переменных xt и у-г могут быть измерены в отклонениях от средних значений, т. е. как х = Xj х, у у і у . Начало координат при этом переместится в точку (Зс, у), а линией регрессии будет та же прямая на плоскости, что и для исходных данных х/, yt. Следовательно, х = 0, у' = 0, и уравнение регрессии (3.12) в отклонениях примет вид

Л Г if

У =о]х ,

а формула (3.13) того же коэффициента регрессии Ь упростится:

ху

1*У

/=1

П

(3.16)

ибо

х'у' =

Zx'y'i

In,

'2 _

(п

2>'2

i=] J

In.