7.7. авторегрессия первого порядка. статистика дарбина—уотсона

7.7. авторегрессия первого порядка. статистика дарбина—уотсона

Как правило, если автокорреляция присутствует, то наибольшее влияние на последующее наблюдение оказывает результат предыдущего наблюдения. Так, например, если рассматривается ряд значений курса какой-либо ценной бумаги, то, очевидно, именно результат последних торгов служит отправной точкой для формирования курса на следующих торгах.

Ситуация, когда на значение наблюдения yt оказывает основное влияние не результат у^-, а более ранние значения, является достаточно редкой. Чаще всего при этом влияние носит сезонный (циклический) характер, — например, на значение yt оказывает наибольшее влияние y^-j, если наблюдения осуществляются ежедневно и имеют недельный цикл (например, сбор кинотеатра). В этом случае можно составить ряды наблюдений отдельно по субботам, воскресеньям и так далее, после чего наиболее сильная корреляция будет наблюдаться между соседними членами.

Таким образом, отсутствие корреляции между соседними членами служит хорошим основанием считать, что корреляция отсутствует в целом, и обычный метод наименьших квадратов дает адекватные и эффективные результаты.

Тест Дарбина—Уотсона. Этот простой критерий (тест) определяет наличие автокорреляции между соседними членами.

Тест Дарбина—Уотсона основан на простой идее: если корреляция ошибок регрессии не равна нулю, то она присутствует и в остатках регрессии еь получающихся в результате применения обычного метода наименьших квадратов. В тесте Дарбина— Уотсона для оценки корреляции используется статистика вида

d=^ .

п

Несложные вычисления позволяют проверить, что статистика Дарбина—Уотсона следующим образом связана с выборочным коэффициентом корреляции между соседними наблюдениями:

</* 2(1-г).

В самом деле

п п п п

Xte ~et-) Z^2 +X*/2-i -2lLetet

(7.30)

d =

t=2

t=2 t=2

t=2

Це}

Це}

Ё^2 ~e +Z^2-en-2Ёе&t=2

Це}

При большом числе наблюдений я сумма е} + el значительп

но меньше Y,e} и

Г п

Це,е,-і

l_i=2

(7.30')

рые присутствуют в статистических критериях и либо позволяют принять гипотезу, либо заставляют ее отвергнуть (см. § 2.8). К сожалению, однако, такие пороговые (критические) значения однозначно указать невозможно.

Тест Дарбина—Уотсона имеет один существенный недостаток — распределение статистики d зависит не только от числа наблюдений, но и от значений регрессоров Xj(j' = 1, р). Это означает, что тест Дарбина—Уотсона, вообще говоря, не представляет собой статистический критерий, в том смысле, что нельзя указать критическую область, которая позволяла бы отвергнуть гипотезу об отсутствии корреляции, если бы оказалось, что в эту область попало наблюдаемое значение статистики d.

Однако существуют два пороговых значения dB и dH, зависящие только от числа наблюдений, числа регрессоров и уровня значимости, такие, что выполняются следующие условия.

Если фактически наблюдаемое значение d:

а) dB< d < 4—dB, то гипотеза об отсутствии автокорреляции

не отвергается (принимается);

б) dH< d <dB или 4 — dB< d < 4 — dH, то вопрос об отвержении

или принятии гипотезы остается открытым (область неопределенности критерия);

в) 0 < d < dH, то принимается альтернативная гипотеза о положительной автокорреляции;

г) 4—dH< d < 4, то принимается альтернативная гипотеза об

отрицательной автокорреляции.

Изобразим результат Дарбина—Уотсона графически:

Я0 отвергается (положительная автокорреляция)

Зона неопределенности

Я0 принимается

(отсутствие автокорреляции)

Зона неопределенности

Я0 отвергается (отрицательная автокорреляция)

2 4-dB Рис. 7.6

4-</

Для ^-статистики найдены верхняя dB и нижняя dH границы на уровнях значимости а = 0,01; 0,025 и 0,05.

В табл. V приложений приведены значения статистик dH и dB критерия Дарбина—Уотсона на уровне значимости а = 0,05.

Недостатками критерия Дарбина—Уотсона является наличие области неопределенности критерия, а также то, что критические значения ^/-статистики определены для объемов выборки не менее 15. Тем не менее тест Дарбина—Уотсона является наиболее употребляемым.

► Пример 7.5. Выявить на уровне значимости 0,05 наличие автокорреляции возмущений для временного ряда yt по данным табл. 6.1.

Решение. В примере 6.2 получено уравнение тренда U = 181,32 + 25,679/ (ед.). В табл. 7.1 приведен расчет сумм, необходимых для вычисления ^-статистики.

</* 2(1+1198,0/7059,2)=2,34.

По табл. V приложений при /і=15 критические значения rfH=l,08; £/„=1,36, т. е. фактически найденное */=2,34 находится в пределах от dB до 4—dB (1,36 < d< 2,64). Как уже отмечено, при п< 15 критических значений ^/-статистики в таблице нет, но судя по тенденции их изменений с уменьшением я, можно предполагать, что найденное значение останется в интервале (dB; 4—dB), т. е. для рассматриваемого временного ряда спроса на уровне значимости 0,05 гипотеза об отсутствии автокорреляции возмущений не отвергается (принимается). ►

При использовании компьютерных регрессионных пакетов значение статистики Дарбина—Уотсона приводится автоматически при оценивании модели методом наименьших квадратов.

Вернемся к рассмотренному в § 7.6 примеру зависимости курса ценной бумаги А от времени. Здесь статистика Дарбина— Уотсона d= 0,993, т. е. меньше единицы. Такое низкое ее значение выявляет наличие положительной корреляции между соседними наблюдениями. Заметим, что такой вывод предсказывался нами в § 7.6 на основании экономических соображений.