7.8. тесты на наличие автокорреляции

7.8. тесты на наличие автокорреляции

Статистика Дарбина—Уотсона, безусловно, является наиболее важным индикатором наличия автокорреляции. Однако, как уже отмечалось, тест обладает и определенными недостатками. Это и наличие зоны неопределенности, и ограниченность результата (выявляется лишь корреляция между соседними членами). Ничего нельзя сказать и о характере автокорреляции.

Это приводит к необходимости использовать также и другие тесты на наличие автокорреляции. Во всех этих тестах в качестве основной гипотезы Щ фигурирует гипотеза об отсутствии автокорреляции.

Некоторые из этих тестов мы рассмотрим в данном параграфе.

Тест серий (Бреуша—Годфри). Тест основан на следующей идее: если имеется корреляция между соседними наблюдениями, то естественно ожидать, что в уравнении

e*=pe*-i+vM /= 1, л, (7.31)

(где et — остатки регрессии, полученные обычным методом наименьших квадратов), коэффициент р окажется значимо отличающимся от нуля.

Заметим, что уравнение (7.31) является авторегрессионным уравнением первого порядка (см. § 6.5).

Практическое применение теста заключается в оценивании методом наименьших квадратов регрессии (7.31) (напомним, что временной ряд etпредставляет ряд et со сдвигом по времени на единицу: компьютерные регрессионные пакеты имеют команду, которая формирует по данному временному ряду е,ряд et-).

Преимущество теста Бреуша—Годфри по сравнению с тестом Дарбина—Уотсона заключается в первую очередь в том, что он проверяется с помощью статистического критерия, между тем как тест Дарбина—Уотсона содержит зону неопределенности для значений статистики d. Другим преимуществом теста является возможность обобщения: в число регрессо-ров могут быть включены не только остатки с лагом 1, но и с лагом 2, 3 и т д., что позволяет выявить корреляцию не только между соседними, но и между более отдаленными наблюдениями.

Вернемся к примеру зависимости курса ценной бумаги А от времени и применим тест серий Бреуша—Годфри.

Рассмотрим авторегрессионную зависимость остатков от их предыдущих значений, используя авторегрессионную модель /7-ГО порядка AR(p). Применяя метод наименьших квадратов, получим следующее уравнение:

et =0,56^_! -0,12е,_2 -0,01е,_3. (0,10) (0,12) (0,10)

Как видно, значимым оказывается только регрессор et~, т. е. существенное влияние на результат наблюдения et оказывает только одно предыдущее значение et-. Положительность оценки соответствующего коэффициента регрессии указывает на положительную корреляцию между ошибками регрессии etn ef-. К такому же выводу приводит и значение статистики Дарбина— Уотсона, полученное в § 7.7.

В большинстве современных компьютерных пакетов (например, в «Есопотеігіс Views*) применение теста серий осуществляется специальной командой, и нет необходимости оценивать регрессию типа (7.29) непосредственно.

Q-тест Льюинга—Бокса. Тест основан на рассмотрении выборочных автокорреляционной г(х) и частной автокорреляционной гчаст(т) функций временного рада (см. § 6.2).

Если ряд стационарный, то, как можно доказать, выборочный частный коэффициент корреляции гчаст(р) совпадает с оценкой обычного метода наименьших квадратов коэффициента рр в авто-регрессионной модели AR(p):

v, = ро + Pi^-i +... + $pyt-P + є,.

Это утверждение лежит в основе вычисления значений частной автокорреляционной функции.

Компьютерные регрессионные пакеты предусматривают возможность с помощью специальной команды получать для данного временного ряда выборочные автокорреляционные функции. Напомним, что график выборочной автокорреляционной функции называется коррелограммой. Коррелограмма является быстро убывающей функцией. (Если формально построенная коррелограмма не удовлетворяет этому свойству, это, скорее всего, означает, что ряд на самом деле нестационарный.)

Очевидно, что в случае отсутствия автокорреляции все значения автокорреляционной функции равны нулю. Разумеется, ее выборочные значения г(т) окажутся отличными от нуля, но в этом случае отличие не должно быть существенным. На этой идее основан еще один тест, проверяющий гипотезу об отсутствии автокорреляции, — 0-тест Льюинга—Бокса.

Тест Льюинга—Бокса. Статистика Льюинга—Бокса имеет вид:

QP=n{n + 2)t!^. (7.33)

Можно доказать, что если верна гипотеза Щ о равенстве нулю всех коэффициентов корреляции р(е,е,_х), где X = 1,..., /?, то статистика Qp имеет распределение \%2с р степенями свободы.

► Пример 7.6. Проверить гипотезу Щ об отсутствии автокорреляции в модели зависимости курса ценной бумаги А от времени t (§ 7.6).

Решение. Значение ^-статистики Дарбина—Уотсона, примерно равное единице, дает оценку коэффициента корреляции между et и et-, т. е. г(1)=0,5.

Отсюда по формуле (7.33)

100.102 0,25

* 99

Так как фактическое значение статистики больше критического Xo,o5;i ~ 3,84 , то гипотеза Q = 0 отвергается.

Заметим, что гипотеза Q= 0 и гипотеза р=0 о равенстве нулю коэффициента р в уравнении (7.31) представляют собой по сути одно и то же утверждение об отсутствии авторегрессии первого порядка. Результат тестирован™ этих гипотез должен совпадать с выводом, к которому приводит значение статистики Дарбина— Уотсона.

Вычислить «вручную» значение (^-статистики при р>19 как правило, достаточно трудно (напомним еще раз, что значение статистики Дарбина—Уотсона дает информацию лишь о значении автокорреляционной функции первого порядка), однако, в большинстве компьютерных пакетов тест Льюинга—Бокса выполняется специальной командой. В «Econometric Views» выдаются значения выборочной автокорреляционной функции г(т), частной автокорреляционной функции гчаст(х)9 значения 0-ста-тистики Льюинга—Бокса и вероятности Р (Q> Qp) для всех порядков т от 1 до некоторого р. Например, так выглядит соответствующий результат для рассматриваемого примера зависимости курса ценной бумаги А от номера наблюдения (табл. 7.2).

Как видно, все вероятности, приведенные в столбце 5, ниже уровня значимости, так что гипотезы Qp= 0 об отсутствии автокорреляции отвергаются. ►

Сделаем одно существенное замечание. Критические значения Ха-р статистики растут с увеличением р. Величины Qp также

растут, но, возможно, медленнее. Таким образом, формальное применение теста Льюинга—Бокса может привести к парадоксальным, на первый взгляд, выводам: например, отвергается гипотеза об отсутствии автокорреляции первого порядка, но не отвергается гипотеза об отсутствии автокорреляции всех порядков до 36-го включительно! На самом деле противоречия здесь нет, — ведь тот факт, что гипотеза не отвергается, не означает, что она на самом деле верна, — можно лишь утверждать, что если она верна, то наблюдаемый результат возможен с вероятностью, большей, чем уровень значимости. Впрочем, подобного рода ситуации на практике встречаются достаточно редко.