7.10. авторегрессионная модель первого порядка

7.10. авторегрессионная модель первого порядка

Вновь возвратимся к регрессионной модели (7.25)

У= Хр+є

(7.34)

или

(7.34')

У=1

где уь xtj— наблюдения переменных У, Х} (j— 1,..., р) в момент /.

Будем полагать, что случайные возмущения коррелированы и образуют наиболее простой процесс — авторегрессионный процесс первого порядка, т. е.

є, =pe,_i+v,, (7.35)

где V/ (t= 1,..., п) представляет белый шум, т. е. последовательность независимых нормально распределенных случайных величин с нулевой средней и дисперсией а§; р — параметр, называемый коэффициентом авторегрессии.

Учитывая, что в силу (7.35) є, и v, независимы, дисперсия возмущений

D(st) = pW(st_l)+D(vt). (7.36)

Так как процесс є, — стационарный, то Z)(e,) = Z)(eM)=a2. Таким образом, полагая Z)(v/)=a^, имеем

a2 = р2а2 +aj5,

или

су2.

а2=-^-. (7.37) 1-р2

Формально, чтобы использовать равенство (7.35) для значения t= 1, нам надо ввести случайную величину 8q. Легко убедиться в том, что для сохранения равенства (7.36) случайную величину єо надо определить как нормально распределенную с

нулевой средней и дисперсией D(e0) = 1-Р2

Из равенства (7.37), учитывая, что дисперсия — величина

положительная, следует, что |р|<1. При |р|>1 ряд оказывается

нестационарным.

Найдем автокорреляционную функцию процесса є,. Умножая (7.35) на є,-і и вновь учитывая независимость є^-і и v,, найдем

М(є/є/_1) = Cov(e,, е,_!) = р£>(є,_!) = pa2,

откуда коэффициент корреляции

, ч Соу(е„ем) _рст2_

т. е. коэффициент авторегрессии р представляет собой коэффициент корреляции между соседними возмущениями zt и є,-і, или коэффициент автокорреляции р(1). Аналогично получим

Cov(enet_x)=pmG2

(7.38)

и

р(є„е,_т) = р'и.

р і

Учитывая (7.37), (7.38), ковариационную матрицу вектора возмущений г для модели с автокорреляционными остатками можно представить в виде:

ґ 1 р ... р""Л

г.п-2

1-Р2

рЛ-1рЛ-2 J

Для получения наиболее эффективных оценок параметра р в такой модели, если параметр р известен, можно применить обобщенный метод наименьших квадратов.

Исключая єДґ = 1,..., п) из равенств (7.34), (7.35), получим

•Л-РЛ-і=Ро(і-р)+ЕРу(^-Р^/-і,у)+^, t = 1,..., п. (7.39)

7=1

Полученная модель (7.39) является классической, так как теперь случайные возмущения vt(t= 1,..., ri) независимы и имеют постоянную дисперсию .

Равенство (7.39) имеет смысл только при t> 2, так как при t— 1 не определены значения лаговых переменных. Можно показать, что параметры.модели сохранятся, если при t= 1 умножить обе части уравнения (7.34') на д/і — р2 :

Vl Р2 Ух = л/ь7^ Ро + лД^Р1 ІМу +лАГРГ £і• (7-4°)

Преобразование (7.40) называется поправкой Прайса— Уинстона для первого наблюдения. При большом количестве наблюдений поправка Прайса—Уинстона практически не изменяет результат, поэтому ее часто не учитывают, оставляя значение первого наблюдения неопределенным.

Таким образом, при известном значении р автокорреляция легко устраняется. На практике, однако, значение р не бывает известно, поэтому в равенстве (7.39) присутствует не точное значение р, а наблюдаемое значение его оценки р.

Наиболее простой способ оценить р — применить обычный метод наименьших квадратов к регрессионному уравнению (7.35).

В качестве примера вновь рассмотрим модель формирования курса ценной бумаги А. В предыдущем параграфе была получена оценка р = 0,5.

Перейдем от наблюдений yt и t (t= 1,..., п)х к наблюдениям Щ=Уі~ РУм = Уі ~ 0,5^_1, (7.41) zt =tt-ptt_{ =tt-095yt_x. Применяя обычный метод наименьших квадратов, получим уравнение

щ = 245,32+ 0,7z,.

При этом значение статистики Дарбина—Уотсона 1,864 достаточно близко к двум, так что можно считать, что автокорреляция устранена и получено оценочное значение параметра р:

Р = 0,7.

Регрессия оказывается значимой несмотря на невысокое качество подгонки (низкое значение /?2=0,05). Заметим, что полученная оценка R2 значительно отличается от оценки до устранения автокорреляции (см. (7.29)).

Двухшаговая процедура Дарбина. Как правило, более точную оценку параметра р дает двухшаговая процедура Дарбина, которая заключается в следующем. Исключая є, из уравнений (7.34)—(7.35), запишем регрессионную модель в виде

jV,=Po(l-p)+Px,+p^-i-PP*M+v,, t=l,...,n.(7.42)

Применим к уравнению (7.42) обычный метод наименьших квадратов, включая р в число оцениваемых параметров. Получим оценки г и 0 величин р и —pp. Тогда оценкой Дарбина является величина

9

Р = --. (7.43)

г

Например, в модели формирования курса ценной бумаги А9 применяя двухшаговую процедуру Дарбина, получаем значение

оценки параметра р, равное Р = 0,698 и близкое к полученному ранее Р=0,7.

1 Переменная время / здесь выступает в роли регрессора.

184

В большинстве компьютерных пакетов реализованы также итеративные процедуры, позволяющие оценивать значение параметра модели (7.34) при условии, что остатки модели образуют стационарный временной ряд, моделируемый как авторегрессионный процесс первого порядка, т. е. автокорреляция имеет характер (7.35).

Опишем две наиболее часто используемые процедуры.

Процедура Кохрейна—Оркатта. Указанная процедура заключается в том, что, получив методом наименьших квадратов оценочное значение р параметра р, от наблюдений yt и t переходят к наблюдениям wt, zt по формулам (7.41) и, получив оценку параметра Pj, образуют новый вектор остатков

e^W-Zfr. (7.44)

Далее применяют метод наименьших квадратов к регрессионному уравнению

(^=p(^L+(vi)„ (7.45)

получают новую оценку параметра р и от наблюдений wt и zt переходят к новым (w)t и (z)t:

Mt =Щ-рЩ-, =z1-p1z,_1.

Новую оценку р2 получают, применяя метод наименьших квадратов к модели (7.45), и процедура повторяется вновь.