8.5. оценивание моделей с лаговыми переменными. метод максимального правдоподобия

8.5. оценивание моделей с лаговыми переменными. метод максимального правдоподобия

Вновь обратимся к модели (8.15)—(8.16) и исключим из уравнений случайную величину є. Запишем уравнение (8.15) в момент времени 1, умножим его на р и вычтем из исходного уравнения (8.15). Учитывая, что є, — рє,-і = £/5 получим:

yt = а + Рх, Ррх,_! + (у + p)yt_x ypyt_2 + .

(8.34)

Если случайные величины § имеют нормальное распределение, то уравнение (8.34) может быть оценено методом максимального правдоподобия (см. § 2.7). Так как в случае нормального распределения ошибок регрессии оценки максимального правдоподобия совпадают с оценками метода наименьших квадратов, на практике применение этого метода к модели (8.15) сводится к нелинейной задаче минимизации по а, р, у и р функции

п Да,р,у,р) = ХЬ/

а Рх, + Ррх,_! + (у + p)yt_{ ypyt_2 ]2. (8.35)

Как известно, оценки, получаемые методом максимального правдоподобия, оказываются наиболее эффективными, однако применение этого метода требует знания вида распределения ошибок регрессии. Так, минимизируя функцию (8.35), мы получим наиболее точные оценки параметров, но лишь в том случае, если эта функция действительно является логарифмом функции правдоподобия, т. е. ошибки § действительно имеют нормальное распределение.

В некоторых случаях нормальное распределение ошибок регрессии может следовать из некоторых теоретических соображений, — например, может использоваться центральная предельная теорема. Однако чаще всего нормальное распределение ошибок является модельным допущением, которое принимается в силу того лишь, что ему нет явных противоречий. В этом случае использование метода максимального правдоподобия требует определенной осторожности, и лучше использовать его в сочетании с другими методами.

Отметим также следующее обстоятельство. Если остатки ряда модели подчинены процессу скользящей средней, уравнение с нормально распределенными ошибками будет содержать бесконечное число лагов переменной Y. Коэффициенты при них убывают в геометрической прогрессии, и можно ограничиться несколькими первыми членами. В этом случае метод максимального правдоподобия практически равносилен нелинейному методу наименьших квадратов.

В последующих параграфах мы рассмотрим конкретные примеры моделей и применим к их оцениванию все перечисленные методы.