8.7. модель адаптивных ожиданий

8.7. модель адаптивных ожиданий

Другим важным примером регрессионной модели с распределенными лагами является модель адаптивных ожиданий.

Пусть Yt= log (Mt/Pt), где М — номинальное количество денег в обращении, Р — уровень цен. Величина М/Р называется реальными денежными остатками. Пусть Yf — спрос на реальные денежные остатки.

Ф. Кейган, изучая динамику этой величины в периоды гиперинфляции, выдвинул предположение, что ее значение в момент t определяется ожидаемым уровнем инфляции в момент Н-1. Модель, предложенная Кейганом, имеет вид:

Л=а + рх^+ем (8.40)

где xw — ожидаемый уровень инфляции. Очевидно, это ненаблюдаемая величина. Кейган дополнил уравнение (8.40) уравнением

Ax?+l=X{xt-x?), (8.41)

где Ах?+1 =х?+1-х?.

Перепишем уравнения (8.40), (8.41) в виде:

— AjCj + (l — *h)x™ г

(8.41)

где yt=a + + . (8.42)

Теперь становится понятным смысл уравнения (8.4 Г) — первого уравнения системы (8.42), состоящий в том, что ожидаемый уровень инфляции в момент /+1 представляет собой взвешенную сумму ожидаемого и реального уровня в момент

Модель (8.42) называется моделью адаптивных ожиданий. (Модель гиперинфляции Ф. Кейгана, по-видимому, представляет собой впервые рассмотренный пример такой модели.) Из уравнений (8.40), (8.41) может быть исключена ненаблюдаемая величина Xw. В самом деле, запишем уравнение (8.41) в момент времени /—1:

yt-x =а+ РхЛ + §/-і. В то же время имеем:

Л=а + р(А*,+ (1-А.) *}")+$,= =а + р?ис, + (1-Х) fix? + = а + $xt + (l Xyt_x а £м)+ . Окончательно получим:

yt=ak + $xt + (l X)yt_ + є/, (8.43)

где

zt^t-{-\%_x. (8.44)

Модель (8.43) есть модель с распределенными лагами АОД0Д), причем динамика случайного члена подчинена закону скользящей средней МА(1).

Явный вид (8.44) случайного члена показывает, что имеет место корреляция между лаговой переменной Yt-i и ошибкой регрессии Є/, то есть оценки метода наименьших квадратов не будут состоятельными.

Модель (8.43) можно оценить, применив обратное преобразование Койка и затем нелинейный метод наименьших квадратов.

Рассмотрим пример. Пусть Xt — цена на сырье в момент времени a Yt — цена форвардной сделки на товар в момент времени Очевидно, Yt зависит в большей степени от ожидаемого значения Х?+х на сырье в момент времени /4-1, т. е. зависимость У от Сможет быть описана моделью адаптивных ожиданий (8.42) или (в преобразованном виде) уравнением (8.43).

Имеется выборка из п = 250 наблюдений, данные о которой представлены на рис. 8.1, 8.2.

50

40

30 

20

-Л

10

п 1 г

26 30 34 38 42 48

Рис. 8.2

Применим сначала к уравнению (8.43) обычный метод наименьших квадратов. Получим уравнение вида:

yt =-0,15 + 4,78*, +0,39ум, </ = 2,55. (3,32) (0,06) (0,01)

Из уравнения (8.43) следует, что значения оценок параметров а, р, к находятся как решения системы аА, =-0,15; PA, = 4,78; 1-Х = 0,39.

Таким образом, получаем следующие оценки:

А=0,6; р=7,88; а=-0,248. (8.45)

Насколько можно доверять полученным результатам? Оценим правую часть (8.29). Имеем ДХ,)=2,592 = 6,7. Выборочная дисперсия остатков ряда Де,)=4,516 — примем ее за оценку Дє). Тогда оценкой Д\%,) будет величина Дєґ)/[1 + (1— А.)2] = =3,89. Полагаем также р — (1— А)=—у=0,4. Подставляя все эти значения в (8.29), получим оценку для предела у по вероятности: 0,97576у.

Отсюда следует, что при больших выборках значение у будет несколько занижено, впрочем, занижение это не очень значительно. Таким образом, мы можем ожидать, что оценки обычного метода наименьших квадратов не очень значительно отличаются от истинных значений, хотя, безусловно, являются неточными.

Применим теперь к уравнению (8.43) обратное преобразование Койка:

yt = а + рА,

+ v,, (8.46)

£=0

где v, =Х(і"~А,) 8 t-k> и оценим уравнение (8.46) нелинейным

к=0

методом наименьших квадратов. Получим следующие значения оценок параметров а, р, А (здесь ряд, стоящий в правой части уравнения (8.46), приближен первыми двадцатью членами):

а =-2,2; р =7,93; А=0,61. (8.47)

Наиболее заметное различие оценок (8.47) и (8.45) касается константы а, однако и в том, и в другом случае константа является незначимой. Оценки р и А оказываются близкими, но все же различающимися. Очевидно, у нас больше оснований доверять оценкам (8.47).

8.8. Модель потребления Фридмена

Наиболее известным примером модели адаптивных ожиданий является модель потребления М. Фридмена. Рассмотрим ее подробнее.

Изучая зависимость между потреблением и доходом индивидуумов, М. Фридмен предположил, что пропорциональная зависимость должна строиться не между фактическими величинами, а между их постоянными составляющими. Постоянный доход — это сумма, на которую человек может рассчитывать в относительно долгосрочный период (заработная плата, стабильные гонорары, проценты с вкладов и т. д.). Фактический доход в рассматриваемый момент времени может значительно отличаться от постоянного. Аналогично, постоянное потребление — это, по сути, привычный уровень потребления. Его фактическое значение оказывается сильно отличающимся от постоянного в случае крупной покупки или непредвиденных расходов (подробнее о понятиях постоянного и временного дохода и потребления можно ознакомиться в [5]).

М. Фридмен исходил из предположения, что постоянное потребление индивида Yc пропорционально его постоянному доходу Xе, т. е.

tf=P*f. (8.48)

В то же время фактическое потребление Y и фактический доход X представляют собой сумму постоянных и временных величин:

Y= Yc + YT, Х= Xе + ХТ, (8.49)

причем временные величины Хт, YT являются случайными. Гипотеза Фридмена заключалась в том, что эти величины не коррелируют в различные моменты времени и между собой, их математические ожидания равны нулю, а дисперсии постоянны во времени.

Подставив выражение (8.48) в (8.49), получим регрессионную модель

yt=№+y?. (8.50)

Проблема заключается в том, что постоянные доход и потребление являются субъективными, а следовательно, ненаблюдаемыми величинами. М. Фридмен применил к изучению зависимости (8.50) модель адаптивных ожиданий, предположив, что изменение постоянного дохода пропорционально разности между его реальным значением и предыдущим постоянным значением, т. е.

Axf =X(xt — jcf_!). (8.51)

Это означает, что при увеличении реального дохода индивиды корректируют свое представление о постоянном доходе, но не на полное значение прироста, а на некоторую его часть, понимая, что приращение может оказаться обусловленным временной, т. е. случайной, составляющей. Уравнение (8.51) может быть записано в стандартной форме модели адаптивных ожиданий:

xf =Xxt+(lX)xlx. (8.52)

Повторяя уже приведенные ранее выкладки, можно записать модель адаптивных ожиданий (8.50), (8.51) в виде следующего уравнения:

yt = PAjc, + (l A,)jtM + є,, (8.53)

где є, =уї-{-X)yJ_x

Очевидно, в модели (8.53) имеет место коррелированность регрессора Yt-i со случайным членом.

Модель (8.53) может быть оценена с помощью нелинейного метода наименьших квадратов (см. предыдущие примеры). Также к модели (8.50) может быть применен метод инструментальных переменных. Вероятно, впервые это было сделано Н. Левиатаном, который использовал в качестве инструментальных переменных для Xе фактические доход и потребление на другом временном отрезке (подробнее о различных аспектах модели М. Фридмена см. [5]).