8.10. garch-morenn

8.10. garch-morenn

Здесь мы отметим еще один тип моделей временных рядов со специфической зависимостью ошибок регрессии.

(8.59)

(8.60) (8.61)

Пусть xt и yt — стационарные временные ряды, t= 1,..., п. Рассмотрим регрессионную модель

yt =рх,+Є, , удовлетворяющую следующим условиям:

Мє,_,(є,)=0;

где Дм(є/)=а0+а1а/2_1,

Очевидно, условие (8.61) означает, что большее отклонение от объясненного (прогнозируемого) значения в предыдущем наблюдении приводит к большей вероятности значительного отклонения также и в последующем наблюдении.

Исследования показывают, что подобные явления часто наблюдаются аналитиками финансового рынка: периоды «затишья», когда финансовые показатели лишь незначительно колеблются вокруг среднего, чередуются с периодами «всплеска», характеризующимися широким размахом значений тех же показателей. На рис. 8.3 приведен примерный график подобных наблюдений.

Обратимся к условиям (8.60), (8.61). Из (8.60) следует, что Кє/-ьє/)=0, т* е* автокорреляция остатков отсутствует. Из этого же условия следует, что

/>(е/) = А/(Ам(е/)),

или /)(є,) = a0 + с^є2., .

Если £>(є,) = -^-,

1-aj

то я(є,) = £>(є,_,)

и безусловная дисперсия ошибок регрессии постоянна, т. е. модель гомоскедастична.

Уг

• • • •

• • •

• • • • • •

• • •

• • •

1 ►/

о

Рис. 8.3

В то же время соотношение (8.61) означает, что имеет место условная гетероскедастынность ошибок регрессии. Модель, удовлетворяющая условиям (8.60), (8.61), называется авторегрессионной условно гетероскедастинной моделью, или ARCH-моделью (AutoRegressive Conditional Heteroskedastic model).

Эта модель допускает обобщения. Если вместо условия (8.61) вводится условие

А,_! ...*,.р (Є' ) = a0 + al£?-l + + ар*1р,

то модель называется ARCH(p) (арч-модель р-то порядка). Рассматриваются также более общие формы зависимости условной дисперсии ошибок, а именно зависимости следующего вида:

( р q

D*t-i ~*t-P Vе') = ao + Z a/e?-/ + Z Y/a?-/ •

/=і /=i

Соответствующая модель называется обобщенной авторегрессионной условно гетероскедастинной моделью (Generalited AutoRe-gressive Conditional Heteroskedastic model) порядков p и q, или GARCH (p, q).

Как же определить, имеется ли в модели условная гетероске-дастичность? Как и в случае проверки гипотезы об отсутствии обычной гетероскедастичности, вместо ненаблюдаемых величин — ошибок регрессии — рассматриваются остатки. К модели (8.59) применяется обычный метод наименьших квадратов, выбирается порядок р и рассматривается регрессия

е} =ao+a;e2_j + ... + а'реД.р.

Если при этом гипотеза о незначимости регрессии отвергается, то можно считать, что имеется Л/?С#(/?)-модель.

Модели ARCH и GARCH удовлетворяют всем условиям классической модели, и метод наименьших квадратов позволяет получить оптимальные линейные оценки. В то же время можно получить более эффективные нелинейные оценки методом максимального правдоподобия. В отличие от модели с независимыми нормально распределенными ошибками регрессии в ARCH-модели оценки максимального правдоподобия отличаются от оценок, полученных методом наименьших квадратов.

Например, для ARCH{ 1)-модели логарифмическая функция правдоподобия имеет вид:

2 ,=i 2 ы a0 + OLef_x

Ее минимизация с получением соответствующих оценок называется оцениванием модели методом ARCH. Соответствующая процедура присутствует в эконометрических пакетах. При ее компьютерной реализации требуется указать порядок модели.

Использование ARCHи <24/?С7/-моделей оказывается в ряде случаев экономико-математического моделирования (например, процессов инфляции и внешней торговли, механизмов формирования нормы процента и т. п.) более адекватным действительности, что позволяет строить более эффективные оценки параметров рассматриваемых моделей по сравнению с оценками, полученными обычным и даже обобщенным методом наименьших квадратов.