9.4. метод инструментальных переменных

9.4. метод инструментальных переменных

Метод инструментальных переменных (см. главу 8) — один из наиболее распространенных методов оценивания уравнений, в которых регрессоры коррелируют со свободными членами. Именно это явление оказывается характерным для систем одновременных уравнений. Мы рассмотрим отдельно два случая — идентифицируемой и неидентифицируемой системы.

1. Система идентифицируема.

Рассмотрим модель (9.5). Для ее коэффициентов метод наименьших квадратов дал оценки (9.8). Легко увидеть, что эти оценки совпадают с оценками, полученными методом инструментальных переменных для уравнений

Yx=ax+$xXx+yxX2+zX9 Y2=a2+$2X2+y2Xx+z2 .

Таким образом, экзогенные переменные Хх и Х2 используются как инструментальные для переменных Y9 Y^. Этот результат, полученный нами в § 9.2, верен и в общем случае:

Если при оценке идентифицируемого уравнения в качестве инструментальных переменных используются экзогенные переменные, то получаемые при этом оценки совпадают с оценками косвенного метода наименьших квадратов.

Из этого следует, что косвенный метод наименьших квадратов является частным случаем метода инструментальных переменных. На практике метод инструментальных переменных применяется в форме двухшагового метода наименьших квадратов, подробно описанного в главе 8. А именно, в качестве инструментальных переменных используются объясненные (прогнозные) значения ух,у2 переменных Y, Y2, полученные при оценивании приведенной формы. Затем эти значения подставляются в правую часть структурной формы (9.5).

Если система идентифицируема, и количество экзогенных переменных X совпадает с количеством эндогенных переменных Y, оценки двухшагового метода совпадают с оценками косвенного метода наименьших квадратов.

Процедура двухшагового метода наименьших квадратов реализована в большинстве компьютерных пакетов. Так, при исследовании модели из § 9.2 при применении этого метода получились бы уравнения:

j>! =3114,286 + 20,43*, -1,19Sy2; d = 1,96, R2 = 0,778,

(462,53) (57,53) (0,14)

j>2 =2519,134 + 8,73jc2 0,8£2; d = 1,96, R2 =0,769.

(326,42) (25,2) (0,08)

Как и следовало ожидать, полученные оценки совпадают с оценками (9.11), полученными косвенным методом наименьших квадратов.

2. Система неидентифицируема.

В этом случае метод инструментальных переменных, вообще говоря, тоже применим, однако для его использования необходимо располагать «внешними» инструментальными переменными — экзогенных переменных не хватает. (Очевидно, это не что иное, как другая интерпретация неидентифицируемости модели.)

Предположим, имеется избыток инструментальных переменных в количестве /, и имеется возможность использовать их различные наборы. В этом случае двухшаговый метод наименьших квадратов предоставляет оптимальный выбор. Пусть {2} — набор инструментальных переменных (как «внутренних», экзогенных, так

и «внешних»). Пусть Yt — проекции эндогенных переменных на

пространство Z (для их получения следует осуществить регрессию

Yi-at + tbyZj

обычным методом наименьших квадратов). Очевидно, переменные Yt представляют собой линейные комбинации инструментальных переменных, наиболее тесно коррелирующих с переменными Yj.

Замену в структурной форме системы Y; на Yt иногда называют «очищением» эндогенной переменной. При этом удаляется та «часть» переменной, которая коррелирует с ошибками регрессии.

В качестве примера рассмотрим модель

71=а1+рХ + у1У2+є1; 72=а2+7^+82

с инструментальными переменными Z и Zj. На рис. 9.2 представлены графические изображения соответствующих временных рядов.

Применяя к модели обычный метод наименьших квадратов, получаем оценки

(9.17)

а{ = 4,837; (3 = 0,263; ух = 0,206;

d2 =1,116; у 2 =0,385,

которые, как известно, несостоятельны, и, следовательно, их значения могут существенно отличаться от истинных значений параметров. Применим теперь метод инструментальных переменных, выбрав в качестве инструментальных переменные X, Z, Z2. Полученные при этом оценки имеют вид:

а, =3,65; р = 0,239; ^ =0,518;

d2 =-1,795; у 2 =0,675

и, как видно, значительно отличаются от оценок (9.17). Наилучшие оценки можно получить с помощью двухшагового метода наименьших квадратов. Они имеют вид:

а, =3,632; 0 = 0,241; ^ =0,522;'

d2 = -1,783; у 2 =0,675.

9.5. Одновременное оценивание регрессионных уравнений. Внешне не связанные уравнения

Косвенный метод наименьших квадратов по сути сводится к оцениванию по отдельности уравнений приведенной формы.

Yx=ax+hXx+vx,

Y2 -а2 +b2X2 +v2,

(9.18) (9.19)

При этом, вообще говоря, Cov(vi,V2) * 0. Отсюда следует, что эффективность оценивания можно повысить, если объединить уравнения (9.18), (9.19) в одно и применить к нему обобщенный метод наименьших квадратов.

Пусть

Х =

ху о

О X,

; Y

; Р=

Pi

v =

Тогда уравнения (9.18)—(9.19) можно записать в виде:

Y = X$ + v. (9.20)

Пусть

In = Cov(vb vi), 1,2 = Cov(vb v2), I22 = Cov(v2, v2). (9.21)

Если уравнения (9.18), (9.19) по отдельности удовлетворяют условиям классической модели, матрицы £iv — скалярные.

Тогда

Для практического применения обобщенного метода наименьших квадратов следует оценить матрицу Z. Это можно сделать, применив метод наименьших квадратов сначала к уравнениям (9.18), (9.19) по отдельности, найти остатки регрессии и принять в качестве оценок матриц Z# выборочные ковариации C6v(ei9ej). Очевидно, эти оценки будут состоятельными.

Применяя метод одновременного оценивания, можно повысить эффективность косвенного метода наименьших квадратов. Заметим, однако, что если наборы экзогенных переменных в обоих уравнениях совпадают, то оценка одновременного оценивания совпадает с оценкой метода наименьших квадратов, примененного к уравнениям по отдельности. Так, для рассмотренного в § 9.4 примера одновременное оценивание не улучшит качество косвенного метода наименьших квадратов (или, что в данном случае то же самое, двухшагового метода наименьших квадратов).

Процедура одновременного оценивания регрессионных уравнений системы как внешне не связанных реализована в стандартных компьютерных пакетах. В западных эконометрических пакетах соответствующий метод оценивания называется Seemingly Unreleased Regression (SUR) (внешне не связанные уравнения).

Рассмотрим пример из гл. 8. Там была рассмотрена модель вида

7= а + уХ+є,

(9.22)

где X— стоимость полуфабриката; Y — цена конечной продукции.

Применяя метод инструментальных переменных, получили следующее уравнение:

j=16,72 + 1,408*.

(9.23)

В этой главе мы усложним модель, составив систему регрессионных уравнений. Будем считать, что стоимость полуфабриката X зависит от суммы цен на сырье, т.е. от величины W — Z + Z2 (предполагается, что оба вида сырья расходуются в равной пропорции — очевидно, это не есть ограничение, а лишь вопрос выбора единиц измерения). Пусть также Z — обобщенный фактор производства конечного продукта. Следующая диаграмма показывает выборочное распределение признака Z

Рассмотрим модель вида

Х = ах + рі^+ єь

Y= а2 + р2 Z+ уХ + е2. (9.24)

При этом єі, є2 коррелируют (на них действуют общие факторы, связанные со стоимостью перевозок), так что X— эндогенная переменная. Приведенная форма системы (9.24) имеет вид:

Х= щ + Pi W+ 6Ь 7= (а2+уа,) + p2Z+ уР,й^+ (уєі + є2). (9.25)

Косвенный метод наименьших квадратов (уравнения (9.25) оцениваются по отдельности) дает следующие значения оценок:

а, = 19,31; р, = 1,77;

d2=18,0; р2=0,55; (9.26)

у= 1,325.

Теперь оценим уравнения (9.25) одновременно как внешне не связанные. Результатом оказываются следующие уравнения: х= 19,31 + 1,77^, = 1,9, R2 =0,984; (6,98) (0,03) j> = 44+ 0,0777 + 2,47^, d = 2,0, R2 =0,97. (13,01) (0,1) (0,06)

Отсюда получаем следующие значения оценок: ос! = 19,31; р! = 1,77;

d2=17,0; р2 = 0,08; (9.27) у =1,40.

Очевидно, мы должны считать оценки (9.27) более точными. Заметим при этом, что коэффициент (32 незначим.