9.7. экономически значимые примеры систем одновременных уравнений
9.7. экономически значимые примеры систем одновременных уравнений
Здесь мы рассмотрим классические примеры систем уравнений, которые подробно изучаются в стандартных экономических курсах.
1. Кейнсианская модель формирования доходов:
С,= а + рУ, + е,, (9.28)
Yt= Ct+It9 (9.29)
где У, С, I соответственно представляют собой совокупный выпуск, объем потреблений и инвестиций. Здесь / рассматривается как экзогенная переменная, a Y — как эндогенная. Хорошо известно, что такая модель описывает закрытую экономику без государственного вмешательства.
Модель содержит одно поведенческое уравнение (9.28) и одно тождество (9.29).
Очевидно, модель (9.28)—(9.29) является идентифицируемой. Ее приведенная форма имеет вид:
„ а 1 _ є
+ / + 1-Р 1-р 1-р
2. Модель формирования спроса и предложения.
В простейшем виде эта модель рассматривалась в § 9.1. Здесь мы рассмотрим некоторые ее модификации.
Учет тренда. Если предположить, что привычки медленно меняются со временем, то в уравнение формирования спроса следует добавить временной тренд. Тогда модель будет иметь вид:
Є^=Р1+р2Р + р3/ + рГ + є1; (9.30)
Є^Р4+Р5Р+є2. (9.31) Приведенная форма записывается в виде:
Рі-04 , Рз , , Р , , є,-є2
Р5-Р2 Р5-Р2 Рз-Р2 Р5-Р2
С?=Р1Р5"Р2Р4 , РзРз 7| РРз п Р5ві-Р2в2
Р5-Р2 Р5-Р2 Р5-Р2 Р5-Р2
(9.32)
откуда следует, что система не является идентифицируемой. В то же время параметр Р5 оказывается сверхидентифицируемым. В самом деле, записав уравнения регрессии в виде
Р = а + Ы + ct,
Q = d + el + ft,
е f
легко заметить, что — и — дают оценку Р5. Ъ с
Учет налога. Предположим теперь, что продавцы товара дблагаются специальным налогом Г. Величина налога меняется со временем и в выборке представлена временным рядом, т. е. является экзогенной переменной. Тогда уравнение спроса не меняется (спрос определяется лишь одной эндогенной переменной — рыночной ценой товара), а в уравнение предложения добавляется соответствующий член. Тогда модель примет вид:
Є</=Р1+Р2/>+Р3/+е1;
Є'=р4+р5/> + рГ + е2.
Очевидно, в этом случае модель будет идентифицируемой.
Предположим теперь, что доход / считается постоянным на протяжении длительного времени. Тогда в уравнении спроса следует исключить переменную /, и получатся уравнения:
Є^Р1+Р2Р+єі; (9.33)
Є*=Р4+Р5/> + рГ + є2. (9.34)
Система (9.33)—(9.34), очевидно, не является идентифицируемой. К ней может быть применен метод инструментальных переменных. При этом одна экзогенная переменная Г, рассматриваемая как инструментальная, позволяет, вообще говоря, идентифицировать только уравнение (9.33), в которое она не входит. Для идентификации (9.34) требуется «внешняя» инструментальная переменная.
Другим способом получить идентифицируемое уравнение формирования предложения оказывается ограничение на структурные коэффициенты: Р5=—р. Смысл этого ограничения очевиден: мы считаем, что продавцы исходят из суммы, которую они получают после уплаты налога, т.е. Р*=Р-Т. Тогда система может быть переписана в виде:
и экзогенная переменная Т может быть использована как инструментальная для идентификации обоих уравнений.
Упражнения
Рассматривается система уравнений вида
ГУ^рХ + у^+Єь (72=8Г1+г2.
Проверить, является ли данная система идентифицируемой. Изменится ли ответ, если в число регрессоров второго уравнения включить: а) константу; б) переменную X ?
К системе двух уравнений вида
J^P^+y^+e,;
[У2=Р2Лг2+у2УІ+є2
применен косвенный метод наименьших квадратов. Для коэффициентов приведенной формы
Yx = cxXx+c2X2+vx
Y2 =с3Хх +слХ2 +v2
получены следующие оценки ci=2,2, С2=0,4, сз=0,08, С4=-0,5.
Найти оценки двухшагового метода наименьших квадратов, примененного к системе (9.35).
При оценивании системы (9.35) двухшаговым и трехша-говым методом наименьших квадратов получены одинаковые оценки. Будут ли оценки, полученные обычным методом наименьших квадратов, состоятельными?
Обсуждение Эконометрика
Комментарии, рецензии и отзывы