11.1. матрицы

11.1. матрицы

Матрицей размера (т х п) или тп-матрицей называется таблица чисел, содержащая т строк и п столбцов. Матрицы обозначаются прописными латинскими буквами, например,

ап ап ...aj ...aln а2{ а22 ...a2j...a2n

(11.1)

ап а,

ат ат2 —Я/и/ —атп

или Атхп = (\%), где ау — элемент матрицы. Нараду с круглыми скобками используются и другие обозначения: [ ], II II. Виды матриц

Если т =1,то

Ахп = (а\а2 ••• ап)~

матрица (или вектор) -строка размера п.

Если п — 1, то

а2Х

— матрица (или век-

ат J

тор)-столбец размера т.

Если т = п, то Апхп=Ап — квадратная матрица п-то порядка.

Если я7у = 0 при щ, то ^=/) — диагональная матрица:

Если (а9 = 0 при / ф j;

ау = 1 при / = j,

то Ап=Еп (или £), единичная матрица п-го порядка:

Если ад = О (/= 1,..., щ j= 1,..., п), то у4дахл = 0WX« (или 0) — нулевая матрица, или нуль-матрица:

22

Ч о

О а

О о

о

( О О 1

О О ... 1

Го о о о

о о

0^

о о

= diagtoi Я22-О. Равенство матриц

Матрицы АтХп—(ау) и 5mX« = равны, т. е. А = Д если ад= by, / = 1,..., /и;у'= 1,..., я. Операции над матрицами

Произведение матрицы АтХп=(ау) на число X есть матрица Bmxn=(bij):

В = АХ, если by = ay X, і = 1,..., m; у = 1,..., п. (11.2) В частности, А • 0=0.

Сулшя двух матриц АтХп= (ау) и ВтХп= (by) есть матрица

С = А+В, если с7у= ау+by, /'= 1,..., m;j= 1,..., я. (11.3) В частности, Л+0=А

Произведение матрицы АтХп =(\%) «л матрицу Вп*р=(Ьф есть матрица СтХр—{ау):

п

С= АВ, если Cy = Y,aikbkj, і= І,-, у = 1,..., л. (11.4)

*=i

Из определения следует, что для умножения матрицы А и В должны быть согласованными: число п столбцов матрицы А должно быть равно числу строк п матрицы В.

► Пример 11.1. Даны матрицы:

(Ъ ^

А =

1 2 5 6

(2 1 9 2 0

Найти АВ и ВА.

Решение. Размер матрицы произведения А-$Х2 ' J&2x3=Qx3;

Аналогично 2?2хз'^зхт^^хь

С2х2=ВА =

f2-3 + 7-1 + 8-5 2.4+7.2 + 8-6 Ї к9«3 + 2-1 + 0-5 9 4+2 2 + 0 6

Ґ53 70Л 29 40

Получили, что произведения матриц АВ и ВА существуют, но являются матрицами разных размеров (порядков). ►

В частном случае

АЕ = ЕА = А.

(П.5)

4. Целая положительная степень Ат (т>1) квадратной матрицы есть Ат = А А...А.

т раз

По определению,

А°=Е, А' = А, Ат Ак = Ат+к, (Amf =Атк.

(И.6)

Особенности операций над матрицами.

В общем случае АВ * ВА, т. е. умножение матриц некоммутативно. Если Ат=0 или АВ =0, то это еще не означает, что А = 0 или 5=0.

Транспонирование матрицы — переход от матрицы А к матрице А1 (или АТ), в которой строки и столбцы поменялись местами с сохранением их порядка.

Если Атх„ =(ау), то А'„хт = (о,-,). Например, если

А =

, то А =

3 2 ч4 0,

'2 5^

2 3 4 5 2 0

Свойства операций транспонирования:

1. (А')'=А. 3. (Л + Я)' =/ + 5'.

2. (АЛУ=АЛ'. 4. (АВ)'=В'А (11.7)

Заметим, если ^4тхл = Ц,), то АА и Л'Л есть квадратные матрицы соответственно т-то и я-го порядков.

В частности, если А = (ді Я2 •.• ««)' есть матрица (вектор)столбец, то А'А = ^а} — квадратная матрица 1-го порядка,

т. е. число; а ЛЛ' =

( ах2 аха2 ... ахап^ а2ах а ... а2ап

— квадратная матрица

апах апа2

п J

л-го порядка.