11.5. система линейных уравнений

11.5. система линейных уравнений

Система т линейных уравнений с п переменными имеет вид:

ахххх + я12х2 +

а2Ххх + я22л:2 +

aiXxx + а/2лс2 +

ат* + ат2х2 +

+ aXjXj + + a2jXj +

+ aoxj +

+ ClmjXj +

.. + aXnxn

+ <WC„ = bm,

(11.21)

или в краткой записи с помощью знаков суммирования:

л

ЛауАу =bt, i= 1,..., т.

В матричной форме система (11.21) имеет вид:

= В,

где

(11.22) (11.23)

Если число уравнений равно числу переменных, т.е. т = я, и квадратная матрица А — невырожденная (|>4|*0), /wo система (11.21) имеет единственное решение.

Х=А~*В. (11.24) Это же решение, т. е. переменные *ь *2v, xj,..., хп при /я = я, могут быть найдены по формулам Крамера

(11.25)

где а — определитель матрицы Л, т. е. Д=|Л|;

ау — определитель матрицы Ар получаемой из матрицы А заменой у-го столбца столбцом свободных членов, т. е. аНЛ/і .

► Пример 11.6. Решить методом обратной матрицы систему уравнений

4хх +3х2 +6х3 =12; < хх Зх3 = 0; З*] х2 +2х3 = 5.

Решение. Пусть

Уравнение в матричной форме примет вид АХ=В. Найдем обратную матрицу:

ґ-3 -12 -9Л

27

-7 -10 6 1 13 3

(см. пример 11.4).

х = 27

По формуле (11.22)

27

т. е. xj=3, Х2=2, хз=—!.►

Система линейных однородных уравнений, т. е. система АХ = 0 с нулевыми свободными членами, имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда матрица А — вырожденная, т. е. |Л| = 0.