11.7. собственные векторы и собственные значения квадратной матрицы

11.7. собственные векторы и собственные значения квадратной матрицы

Вектор х^О называется собственным вектором квадратной

матрицы А9 если найдется такое число Х9 что

Ах = Хх. (11.29)

Число X называется собственным значением (или собственным числом) матрицы А9 соответствующим вектору х.

Собственный вектор х определен с точностью до коэффициента пропорциональности.

Для существования ненулевого решения (х*0) уравнения (11.29) или равносильного ему уравнения

{А-ХЕ)х = 0 (11.30) необходимо и достаточно, чтобы определитель системы (11.30)

А-ХЕ = 0. (11.31) Определитель |i4-AJ?| называется характеристическим многочленом матрицы А9 а уравнение (11.31) — ее характеристическим уравнением.

► Пример 11.7.

Найти собственные значения и собственные векторы матрицы

( АЛ

А =

[? 1)

Решение. Составим характеристическое уравнение (11.31)

= 0,

1-х 4

а-хе =

9 1 -X

или xі 2Х 35 = 0, откуда собственные значения матрицы а: х= 5, Я-2=7.

При Х.]=—5 уравнение (11.30) примет вид:

(а-ххе)

х

=0,

или

'б 4Л Г*Л Г<Л

9 6

, откуда х2 = —l,5xi. Положив х=с, получим,

при

что векторы jcU) = (с;—1,5с) при любом с ф 0 являются собствен ными векторами матрицы А с собственным значением Xi=—5.

Аналогично можно показать, что векторы х^ =

— С\С

любом с * 0 являются собственными векторами матрицы А с собственным значением X-f^l. ►

Разным собственным значениям матрицы соответствуют линейно независимые собственные векторы.