12.2. метод монте-карло
12.2. метод монте-карло
Эксперимент по методу Монте-Карло — это эксперимент, основанный на компьютерном моделировании случайных величин.
Регрессионные программы (в частности, «Econometric Views») позволяют генерировать выборки равномерно распределенной случайной величины, а также величины, распределенной нормально с произвольным математическим ожиданием и дисперсией. Так как основные распределения ( X2, /, F) определяются через нормальное, то компьютерные программы позволяют генерировать выборки и этих распределений.
Суть метода Монте-Карло заключается в том, что с помощью компьютера можно многократно наблюдать случайную величину с заранее известным распределением. Это позволяет получить (или проверить) статистические результаты экспериментально.
Метод широко применим не только в эконометрическом моделировании, но и вообще в статистическом исследовании. Так, с его помощью можно оценивать вероятности событий, связанных со случайными величинами.
Приведем простейший пример. Пусть X имеет равномерное распределение на отрезке [—1; 1], Y — нормальное распределение с математическим ожиданием, равным нулю, и дисперсией, равной единице. Требуется оценить вероятность того, что случайная величина Z—XY1 примет значение на отрезке [0;1].
Регрессионная программа позволит сгенерировать серию выборочных наблюдений величины произвольного, заранее выбранного объема. Вот как, например, выглядит гистограмма распределения Z, полученная с помощью программы «Economet-ric Views»:
Series: Z | |
Sample 1 400 | |
Observations 400 | |
Mean | -0,065866 |
Median | -0,000289 |
Maximum | 4,703745 |
Minimum | -3,703901 |
Std. Dev. | 0,821835 |
Skewness | 0,039280 |
Kurtosis | 10,44784 |
Jarque-Bera | 924.6088 |
Probability | 0,000000 |
2 4
Рис. 12.2
В серии из четырехсот наблюдений величина Z приняла значение на интервале [0; 1] 173 раза. Таким образом, экспериментальной оценкой вероятности можно считать 173/400 = 0,4325.
В эконометрическом моделировании значение метода Монте-Карло особенно велико. С его помощью можно построить модель с заранее известными параметрами (отметим еще раз, что в реальных моделях параметры никогда не бывают известны).
Метод Монте-Карло позволяет проверить экспериментально результаты, полученные теоретически. В качестве примера рассмотрим задачу выбора спецификации модели. Пусть имеются фиксированные выборки переменных Ху Z, а случайные выборки переменной Y генерируются по формуле
Г= 12 + 8Z+Z+8,
где є — нормально распределенная случайная величина с математическим ожиданием, равным нулю, и стандартным отклонением, равным пяти.
Методом наименьших квадратов оцениваются модели, включающие переменную Zh не включающие ее (см. (10.1) и (10.2)). Эксперимент повторяется четыре раза. Получаются следующие регрессионные уравнения:
У
У
У
У
+ 7,8x + 0,7z;
(0,09) 11,6 + 8,bc + l,2z; (0,09)
+8,08*+ l,3z; (0,09)
12,8 + 7,93x + 0,8z; (0,09) j> = 12,1 + 7,9jc;
(0,08) j> = 11,8 + 8,15*;
(0,08) j> = 11,8 + 8,12*;
(0,08) j> = 12,1 + 7,99*.
(0,08)
Как видно, оценка параметра при переменной х в короткой модели оказывается смещенной вверх. В то же время точность оценок близка в обоих случаях.
Разумеется, в реальной практике эксперимент должен повторяться не четыре раза, а значительно большее количество раз.
С помощью метода Монте-Карло можно наглядно демонстрировать результаты применения тестов, а также экспериментально оценить последствия нарушения тех или иных условий.
Наконец, отметим особенно значимую роль экспериментов по методу Монте-Карло в процессе обучения. Именно с помощью таких экспериментов можно увидеть различия между методами оценивания моделей, наблюдать эффекты, вызванные нарушением тех или иных условий и т. д.
Упражнения
12.1. С помощью метода Монте-Карло построить следующие величины:
х = 10 + 0,5/,
Уі = 2 + Зхі + іь
где — нормально распределенная случайная величина с математическим ожиданием, равным нулю, и дисперсией, равной единице (белый шум). Оценить модель
у і = а + рх/ + є/.
С помощью теста Уайта убедиться в наличии гетероскедастичности.
Сравнить оценки обычного и взвешенного метода наименьших квадратов при регрессоре X. Повторить эксперимент несколько раз. Убедиться, что оценки взвешенного метода наименьших квадратов в основном ближе к значению 3.
12.2. Методом Монте-Карло сгенерировать следующие временные ряды:
*і=2+єь *2=1+2є2;
^=0,5+1,2^-0,3*2+363; (12.1)
У2=1,5+2,0*1+0,7*2+0,584, (12.2)
где є/ — нормально распределенные случайные величины с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией. Рассмотреть систему одновременных уравнений:
[Y2 = a2+$2X2+y2Y2.
Применить к уравнениям системы обычный и косвенный методы наименьших квадратов. Сравнить полученные оценки. Сравнить полученные регрессионные уравнения с модельными (12.1)—(12.2). Повторить эксперимент несколько раз.
Обсуждение Эконометрика
Комментарии, рецензии и отзывы