Глава 4 модель множественной регрессии

Глава 4 модель множественной регрессии

Для оценки параметров регрессии используется метод наименьших квадратов. В соответствии с МНК минимизируется cuiMd квадратов остатков:

С = ІЄі2 = ХО'і-:?,)2->™пНеобходимым условием ее минимума является равенство нулю всех ее частных производных по Ь0, Ьь Ьк.

В результате приходим к системе из (к + 1) линейного уравнения с (к+ 1) неизвестным, называемой системой нормальных уравнении. Ее решение в явном виде обычно записывается в матричной форме, иначе оно становится слишком громоздким.

Оценки параметров модели и их теоретические дисперсии в матричной форме определяются выражениями

Ь = (XTX)~lXTY, D(bj) = (XtX)-j}cj2,

где b — вектор с компонентами b0, Ьи bk; X— матрица значении объясняющих переменных; У— вектор значений зависимой переменной; а2 — дисперсия случайного члена.

Несмещенной оценкой а2 является величина S2 (остаточная дисперсия):

S2=^— Уе2. п-к-1^ '

Величина S называется стандартной ошибкой регрессии.

Заменяя в теоретических дисперсиях неизвестную дисперсию а2 на ее оценку S2 и извлекая квадратный корень, получим стандартные ошибки коэффициентов регрессии

sbj = sJ(xTxrJ.

Если предпосылки относительно случайного члена є выполняются, оценки параметров множественной регрессии являются несмещенными, состоятельными и эффективными.

При использовании компьютерных программ коэффициенты регрессии b0, Ьи bk и их стандартные отклонения вычисляются одновременно.

Пример 4.1. По данным бюджетного обследования семи случайно выбранных семей изучалась зависимость накоплений у от дохода X! и стоимости имущества х2.

(в скобках указаны стандартные ошибки).

Из этого уравнения можно сделать следующие выводы.

Прогнозируемые накопления семьи с доходом 40 усл. ед. и имуществом стоимостью 25 усл. ед. составляют

у = 0,45 + 0,129 • 40 0,034 • 25 = 4,76.

Если доход семьи возрастет на 10 усл. ед., а стоимость имущества не изменится, то накопления возрастут на величину

Ду = 0,129Дх, = 0,129 ■ 10= 1,29.

Если доход семьи увеличится на 5 усл. ед., а стоимость имущества — на 15 усл. ед., то накопления возрастуг на величину

Ау = 0,129Ах{ 0,034Ах2 = 0,129 • 5 0,034 • 15 = 0,135.

Замечание. Для прогноза значения переменной у при заданных значениях х объясняющих переменных можно воспользоваться статистической функцией Excel: ТЕНДЕНЦИЯ.