6.2. модели авторегрессии
6.2. модели авторегрессии
Пусть имеется модель авторегрессии вида y, = a + pV, + P>/-i +є,.
Для интерпретации коэффициентов модели авторегрессии сделаем предположение о наличии бесконечного лага в воздействии текущего значения зависимой переменной на ее последующие значения и о выполнении неравенства |Pi| < 1 (условие устойчивости).
В краткосрочном (текущем) периоде влияние х на у отражается величиной р0 (краткосрочный мультипликатор). Он характеризует краткосрочное изменение у под влиянием изменения х на единицу.
В долгосрочной перспективе суммарное влияние х на у отражается величиной Р (долгосрочный мультипликатор):
Р = Р0+Р0Р1+р0Р2 + р0Р? + ... = ---.
1 _ Pi
В модели авторегрессии у, = а + р0х, + РіУм + є, объясняющая переменная у,_х находится непосредственно под воздействием e,_j и косвенно под влиянием всех предшествующих значений случайного члена. Следовательно, объясняющая переменная у,_х и случайный член є, зависимы, и МНК не дает несмещенных оценок. В этом случае одним из возможных методов оценки параметров уравнения авторегрессии является метод инструментальных переменных.
В качестве инструментальной переменной можно взять переменную х,_ь которая коррелирована су,_х и некоррелирована с є,. Практически в качестве инструментальной переменной можно взять оценку
U-i =Yo + Yi*m.
полученную из предполагаемой линейной зависимости у,_ отхм. Тогда оценку параметров модели автокорреляции можно найти обычным МНК из соотношения
у, = а + р0дс, + p,j>M + є„
где xt, у, — исходные, a yt_{ — расчетные данные.
Практическая реализация метода инструментальных переменных осложняется появлением мультиколлинеарности факторов х, и у,_х в модели.
Пример 6.2. Построим модель авторегрессии по данным о среднедушевом располагаемом доходе х и среднедушевых расходах на конечное потребление у за 32 года. Исходные и расчетные данные (усл. ед.) представлены в следующей таблице:
t | У, | х. | Й-1 | е, |
1 | 67 | 73 | — | — |
2 | 67 | 74 | 65,58 | 0,57 |
3 | 69 | 76 | 66,5 | 0,85 |
Определим по этим данным параметры модели авторегрессии вида
j;, = a + p0x,+ pLVM+e,.
Применение обычного МНК для оценки параметров этой модели приводит к следующим результатам:
у, = -0,215+0,504*, + 0,455у,_„ R2 = 0,997
(1,25) (0,097) (0,104)
(в скобках указаны стандартные ошибки).
Однако, как уже было отмечено, оценка параметра (3| = 0,455 является смещенной. Для получения несмещенных оценок параметров этого уравнения воспользуемся методом инструментальных переменных.
Оценка уравнения регрессии у,_ = у0 + Уі*м + є, обычным МНК дает следующие результаты:
j>,_, = -1,609+ 0,920х,_1; В2 = 0,994.
(1,398) (0,012)
Тогда в результате оценки модели авторегрессии у, = ос + Рох, + + Рі>',_і + є, обычным МНК получаем
у, =-1,801+0,797 x/ + 0,141j),_1, R2 = 0,995.
(1,63) (0,146) (0,157)
Применение метода инструментальных переменных привело к статистической незначимости оценки параметра Pi = 0,141 при переменной у,_х. Это произошло ввиду высокой мультиколлинеар-ности переменных х, и yt_v
Поскольку ни один из методов оценок параметров модели авторегрессии не привел к достоверным результатам, следует использовать другие методы оценок.
Заметим, что для данной модели авторегрессии при наличии автокорреляции остатков не существует состоятельного метода оценивания.
В качестве примера проверим гипотезу о наличии автокорреляции в модели регрессии, полученной методом инструментальных переменных. Проверку осуществим по /г-критерию Дар-бина.
Коэффициент автокорреляции остатков первого порядка г 0,722, следовательно, значение DW2(1 г) 0,556.
Значение й-критерия Дарбина, определяемое выражением
^ 2 )ll-nvar(b) { 2 JVl-32-0,1572 указывает на положительную автокорреляцию остатков.
Обсуждение Эконометрика
Комментарии, рецензии и отзывы