7.2. оценивание параметров структурной модели

7.2. оценивание параметров структурной модели

Коэффициенты структурной модели могут быть оценены различными способами в зависимости от вида системы одновременных уравнений. Наибольшее распространение получили следующие методы:

метод инструментальных переменных (ИП);

косвенный метод наименьших квадратов (КМНК);

двухшаговый метод наименьших квадратов (ДМНК).

МЕТОДЫ ОЦЕНИВАНИЯ СТРУКТУРНЫХ УРАВНЕНИЙ РАЗЛИЧНЫХ ВИДОВ

I. Точная идентифицируемость

Допустим, требуется оценить параметры уравнения функции потребления в простой модели Кейнса формирования доходов:

(7.3)

где С,, Y„ I, — объем потребления, совокупный доход и инвестиции соответственно, а є, — случайный член.

Структурный коэффициент (3 характеризует предельную склонность к потреблению.

В исходной модели С„ Y, — эндогенные переменные, а I, — экзогенная. Непосредственное оценивание параметров (а, Р) в структурном уравнении функции потребления дает смещенные и несостоятельные оценки, так как объясняющая переменная Y, является эндогенной.

Разрешая структурную систему относительно эндогенных переменных, получим приведенную систему

с,—«_ + _E_// + -5t_, ' 1-р 1-р ' 1-р'

, (7.4)

У, =-«+ -!-/,+-£-. ' 1-Р 1-Р ' 1-Р

В приведенной системе коэффициенты при переменной равные Р/(1 Р) и 1/(1 Р), — это инвестиционные мультипликаторы потребления и дохода соответственно. Это значит, что если объем инвестиций возрастет на единицу, то объем потребления увеличится на р/(1 Р), а совокупный доход — на 1/(1 р).

Рассмотрим различные методы оценивания структурных коэффициентов (а, Р).

Косвенный метод наименьших квадратов. Уравнение для С, в приведенной форме можно также представить в виде

С^а' + р'Л + е',, (7.5)

где

«'-ггр. <-rV <™>

В этом уравнении экзогенная переменная I, некоррелирована со случайным членом г',, поэтому для оценки параметров (а', Р') можно использовать обычный МНК.

Замечание. Для удобства рассмотрения оценку параметра и сам параметр будем в дальнейшем обозначать одним символом (параметром).

Оцененное уравнение (7.5), полученное по выборочным данным с помощью МНК,

С, = а' + р'7,

дает несмещенные и состоятельные оценки параметров.

Из выражения (7.6) получаем оценки (а, Р) структурных коэффициентов:

а = -^—, р = -^-. (7.7) 1 + р' 1 + 3'

Поскольку получены единственные оценки (а, р) структурных коэффициентов через оценки (а', Р') приведенных коэффициентов, то структурное уравнение функции потребления является однозначно определенным (точно идентифицируемым).

Метод инструментальных переменных. Проблема коррелированное™ объясняющей переменной Y, со случайным членом є, в структурном уравнении (7.3) для С, может быть разрешена с помощью метода ИП.

Для применения метода ИП необходимо найти такую инструментальную переменную, которая обладает следующими свойствами:

коррелирует с неудачно объясняющей переменной Y,;

не коррелирует со случайным членом є,.

В данном случае модель сама предоставляет такую переменную. Величина /, коррелирует с Y,, поскольку Y, зависит от /, в уравнении (7.4), и /, не коррелирует с є,, поскольку является экзогенной переменной.

Оценка Р с помощью инструментальной переменной /, определяется как

_ cov(/,C) рип"соу(/,У)Полученная оценка рип эквивалентна ркмнк — оценке Р с помощью КМНК. Действительно, из соотношения (7.7) и учитывая,

что р' рассчитывается как cov(7, C)/var(7), получим

З Р' cov(/,C)/var(/) = cov(/,C)

Ркмнк 1 + 1 + cov(/>C)/var(/) var(/) + cov(/,C)

_ cov(/,C) _Q

" v^rCU7)"^"' поскольку cov(7, Y) coy (I, I+C) = var(7) + cov(7, C).

В общем случае, когда оценка, полученная косвенным методом, единственна, она совпадает с оценкой, полученной методом ИП, т.е. КМНК можно рассматривать как частный случай метода ИП.

Пример 7.1. Для некоторой страны имеются данные о совокупном доходе У, объеме потребления С и инвестициях /, полученные за 10 лет (усл. ед.):

Построим функцию потребления, используя модель Кейнса формирования доходов (7.3).

Непосредственное оценивание структурного уравнения функции потребления обычным МНК приводит к следующим результатам:

С = 60,9 + 0,635Г,

т.е. оценки а = 60,9, (3 = 0,635.

Было показано, что исходная модель (7.3) точно идентифицируема, поэтому для оценки ее структурных коэффициентов используем кмнк.

Оценка для С в приведенной форме

С = 188 + 0,695/,

т.е. а'=188, (У = 0,695.

Из выражения (7.7) получим оценки структурных коэффициентов:

а = 188/(1 + 0,695) = 110,9, (3 = 0,695/(1 + 0,695) = 0,41,

т.е. С 110,9 + 0,417.

Оценки структурных коэффициентов функции потребления, полученные КМНК, являются несмещенными и состоятельными.

II. Сверхидентифицируемость

Рассмотрим следующую простую модель Кейнса формирования доходов:

[С, = а + (ЗУ, + є, (функция потребления),

< (7.8)

[Y, =Ct + I,+G, (тождество дохода),

где С,, Y„ /,, G, — объем потребления, совокупный доход, инвестиции и государственные расходы соответственно, а є, — случайный член.

В исходной модели С„ Y, — эндогенные переменные, а G, — экзогенные.

Разрешая структурную систему относительно эндогенных переменных, получим приведенную систему

Рассмотрим различные методы оценивания структурных коэффициентов (а, р).

Метод инструментальных переменных. В структурном уравнении функции потребления в качестве инструментальных переменных для Y, можно использовать как так и G,. Полученные при этом оценки (а, Р) будут различаться, но в обоих случаях они состоятельны.

Наилучшее решение в данном случае — применение инструментальной переменной, которая является комбинацией /, и G,.

Структурное уравнение с избыточным числом экзогенных переменных, которые можно использовать как инструментальные, является переопределенным (сверхидентифицируемым).

Двухшаговый метод наименьших квадратов. Двухшаговый МНК можно рассматривать как частный случай инструментальных переменных. В методе ИП было показано, что структурное уравнение функции потребления оказалось переопределенным и сразу две переменные 7, и G, можно использовать для Y,.

Однако вместо их раздельного применения можно предложить их комбинацию zt у0 + + УгС,. В этом случае требуется оценить значения коэффициентов у0, Уі,УгФактически вместо z, можно использовать оценку Yt приведенного уравнения У„ т.е. У, уо + + Уг6>.

Подставляя теоретические значения У, вместо фактических значений в структурное уравнение функции потребления, получим уравнение

С, а + РУ, + є,,

которое оценивается обычным МНК. При этом оценки структурных коэффициентов будут состоятельными.

Двухшаговый МНК можно рассматривать как способ конструирования наилучшей из возможных комбинаций инструментальных переменных, если в уравнении имеется избыток экзогенных переменных, которые можно использовать как инструментальные.

Пример 7.2. Для некоторой страны имеются данные о совокупном доходе Y, объеме потребления С, инвестициях / и государственных расходах G, полученные за 10 лет (усл. ед.):

Построим функцию потребления, используя модель Кейнса формирования доходов (7.8).

Непосредственное оценивание структурного уравнения функции потребления обычным МНК приводит к следующим результатам:

С 109,8 + 0,4К,

т.е. оценки а = 109,8, |3 = 0,4.

Было показано, что исходная модель (7.8) сверхидентифициру-ема, поэтому для оценки ее структурных коэффициентов используем ДМНК.

Расчетные значения эндогенной переменной Y, полученные МНК:

У = 201,7+ 1,29/ +1.14G.

Подставим расчетные значения Y вместо фактических значений в структурное уравнение функции потребления и оценим полученное уравнение МНК:

С = 171,3 + 0,1567,

т.е. оценки а = 171,3, (3 = 0,156.

Оценки структурных коэффициентов функции потребления, полученные ДМНК, являются состоятельными.

III. Неидентифицируемость

Рассмотрим следующую модель спроса и предложения: yD =a + $P + uD (спрос), • ys 8 + гР + us (предложение), yD ys у (равновесие), где Р — цена товара, a uD, us — случайные члены.

Переменные у, Р являются эндогенными, и их значения определяются в процессе установления равновесия.

В рассматриваемой модели нет экзогенных переменных, поэтому ни одно из этих уравнений не является идентифицируемым. Чтобы модель имела статистическое решение, в нее вводятся экзогенные переменные.

Предположим, что продавцы товара облагаются специальным налогом Т, который они должны платить с выручки. При этом уравнение спроса останется неизменным, если переменная Р означает рыночную цену, а уравнение предложения изменится:

yD = а + РР + и° (спрос),

ys 5 + еР + оТ + us (предложение), (7.10) yD = ys = у (равновесие),

где Т— экзогенная переменная.

Уравнение спроса будет идентифицируемым, поскольку переменная Г не включена в него и может выступать как инструментальная для Р, а уравнение предложения — неидентифицируемым.

Включим в уравнение спроса экзогенную переменнуюх — доход на душу населения:

а + $Р + ух + и° (спрос),

у

8 + еР + аГ + и5 (предложение), (7.11) ys = у (равновесие).

Экзогенную переменную х можно использовать как инструментальную вместо Рдля уравнения предложения.

В итоге получили в целом точно идентифицируемую модель спроса и предложения.

Пусть структурное уравнение спроса имеет временной тренд (скажем, потому что привычки медленно меняются со временем):

у° а + рР + ух + pt + uD (спрос),

ys = 8 + єР + оТ + us (предложение), (7.12) yD = ys = у (равновесие),

где t — переменная времени, ар — коэффициент при ней.

В модели спроса имеются две экзогенные переменные х, t, которые можно использовать в качестве инструментальных для Р в уравнении предложения.

В итоге получили сверхидентифицируемое уравнение предложения и точно идентифицируемое уравнение спроса.

ПОРЯДКОВОЕ УСЛОВИЕ ДЛЯ ИДЕНТИФИКАЦИИ

В общем случае отдельное структурное уравнение системы является идентифицируемым, если имеется достаточное количество экзогенных переменных, не включенных в само уравнение, которые можно использовать как инструментальные для всех эндогенных объясняющих переменных уравнения.

В полностью определенной модели будет столько уравнений, сколько имеется эндогенных переменных.

Пусть D — число не включенных в уравнение, но присутствующих в системе экзогенных переменных, a G — число включенных в уравнение эндогенных переменных.

Необходимое условие идентификации. Уравнение в структурной модели может быть идентифицировано, если число не включенных в него экзогенных переменных не меньше числа включенных в него объясняющих эндогенных переменных, т.е.

D > G 1 (порядковое условие).

Данное условие является необходимым, но не достаточным для идентификации. В частности:

если D = G 1, то уравнение точно идентифицируемо;

если D > G 1, то уравнение сверхидентифицируемо;

если D < G 1, то уравнение неидентифицируем о.

Достаточное условие идентификации. Уравнение идентифицируемо, если ранг матрицы, составленной из коэффициентов при переменных (эндогенных и экзогенных), отсутствующих в исследуемом уравнении, не меньше N-l, где N — число эндогенных переменных системы.

Пример 7.3. Проверим на идентификацию каждое уравнение модели

У = «01 +РізУз +$нУа

( У2 = «02 + Р23У3 + «21*1 + Є2> УЗ = «03 + Р34У4 +«31Х1 + Е3> УА = У + У2 + *2>

где — расходы на потребление текущего года; у2 — валовые инвестиции в текущем году; уъ — расходы на заработную плату в текущем году; у4 — валовой доход за текущий год; х{ — валовой доход предыдущего года; х2 — государственные расходы текущего года; є — случайные ошибки.

В данной модели четыре эндогенные переменные (у,у2, Уз, >ч)> т.е. N=4, и две экзогенные (х{, х2).

Для первого уравнения: G = 3 (у,, у$,у4 присутствуют), D = 2 (хь х2 отсутствуют) и D = G1, поэтому уравнение точно идентифицируемо (необходимое условие).

Для проверки на достаточное условие идентификации выпишем матрицу Л коэффициентов при переменных, не входящих в первое уравнение:

Определитель матрицы deL4 = -а3, Ф 0, следовательно, ранг матрицы равен 3 > Л' 1, т.е. достаточное условие идентификации выполняется, и первое уравнение точно идентифицируемо.

Второе уравнение системы также точно идентифицируемо: G=2, D= и D = G-.

Выпишем матрицу А коэффициентов при переменных, не входящих во второе уравнение:

Выполняется также достаточное условие идентификации: det4 = —(З34 Ф 0, ранг матрицы равен 3 > N1.

Аналогично третье уравнение системы точно идентифицируемо: С=2, D=, D = G-.

Выпишем матрицу А коэффициентов при переменных, не входящих в третье уравнение:

Здесь также выполняется достаточное условие идентификации: det4 = 1, ранг матрицы равен 3 > N1.

Четвертое уравнение представляет собой тождество, параметры которого известны, поэтому необходимости в его идентификации нет.

Таким образом, все уравнения модели точно идентифицированы.

Пример 7.4. Выполним идентификацию следующей модели: С, = а01 + ри7, + а12С,_! + е, (функция потребления),

Л = а02 + $2Г1 + а22^С-1 + Є2 (ФУНКЦИЯ ИНВЄСТИЦИЙ),

г, = а03 + Р31У, + ai2Mt + є3 (функция денежного рынка),

Y, = Ct + I, + G, (тождество дохода),

где С — расходы на потребление; Y— совокупный доход; / — инвестиции; г — процентная ставка; М — денежная масса; G — государственные расходы; t — текущий период; t1 — предыдущий период.

В данной модели четыре эндогенные переменные (С„ /,, rh Y,), т.е. N= 4, и четыре экзогенные (Mt, G,, См, /м).

Для первого уравнения: G 2 (С,, Y, присутствуют), D = 3 (М„ Gh отсутствуют) и D > G1, поэтому уравнение сверхиден-тифицируемо (необходимое условие).

Для проверки на достаточное условие идентификации выпишем матрицу коэффициентов при переменных, не входящих в первое уравнение:

Минор третьего порядка данной матрицы

-1 р21 О 0-10 *0,сле-1 0 1

довательно, ранг матрицы равен 3 > N1, т.е. достаточное условие идентификации выполняется.

Для второго уравнения: G 2 (I,, г, присутствуют), D 3 (М,, Gt, С,_і отсутствуют) и D> G1, поэтому уравнение сверхиден-тифицируемо.

Выпишем матрицу коэффициентов при переменных, не входящих во второе уравнение:

0

а32 0

0 1

довательно, ранг матрицы равен 3 > N1, т.е. достаточное условие идентификации выполняется.

Для третьего уравнения: G = 2 (У,, г, присутствуют), D = 3 (G,, С,_ь отсутствуют) и D> G1, поэтому уравнение сверхиден-тифицируемо.

Выпишем матрицу коэффициентов при переменных, не входящих в третье уравнение:

-10 0 0-10 *0,сле-1 1 1

довательно, ранг матрицы равен 3 > N1, т.е. достаточное условие идентификации выполняется.

Четвертое уравнение представляет собой тождество, параметры которого известны, поэтому необходимости в его идентификации нет.

Таким образом, все уравнения модели сверхидентифицированы. 130

НЕНУЛЕВОЕ ОГРАНИЧЕНИЕ

Добавление экзогенной переменной не единственный способ, который может привести к идентифицируемости уравнения. В некоторых случаях неидентифицируемая модель может быть идентифицируема путем задания соотношения между структурными коэффициентами.

Рассмотрим неидентифицируемую модель спроса и предложения (7.10). Улучшим спецификацию модели, введя ограничение на коэффициенты а = -е:

yD = ос + рР + и° (спрос),

ys = 8 + е(Р Т) + us (предложение), (7.13)

yD = ys = у (равновесие).

Благодаря введению ограничения на коэффициенты уравнение предложения также стало идентифицируемым. Действительно, при использовании ИП можно рассмотреть новую версию модели как систему из четырех уравнений:

yD = a + $P + uD,

ys = b + eP+us,

1 (7.14)

РХ=Р-Т,

yD = ys,

где Px — цена товара для продавца (сумма, остающаяся у него после уплаты налога).

Последние два уравнения системы (7.14) являются уравнениями-тождествами и не требуют проверки на идентификацию. Переменная Т не включена в уравнение спроса, поэтому она может использоваться как инструментальная для Р. Точно так же эта переменная не включена в уравнение предложения, поэтому она может использоваться как инструментальная для Р.

В итоге модель в целом является точно определенной (точно идентифицируемой).

Вывод. Ненулевое ограничение позволяет исключить одну объясняющую переменную из уравнения. Если эта переменная эндогенная, для нее не нужно искать инструментальную переменную, если экзогенная, то она освобождается на роль инструментальной для одной из эндогенных переменных, оставшихся в уравнении.

Пример 7.5. Опишем процедуру оценивания структурной модели (7.13). Модель имеет две эндогенные переменные (Y, Р) и одну экзогенную (Т).

Было показано, что исходная модель точно идентифицируема, и поэтому для оценки ее структурных коэффициентов используем

кмнк.

Разрешая исходную систему относительно Y, Р, получим приведенную систему

(P = a' + 'T + vP,

{Y = 8' + e'T + vY,

где

а' =

а •

Р' =

■Р

5'

еа 8р

е-Р"

(7.15)

Оцененные уравнения приведенной системы, полученные по выборочным данным с использованием МНК, есть

Р = 40 + 0,67,

[Y = 70-1,27",

т.е. оценки а'= 40, р' = 0,6, 8'= 70, є'= -1,2. Тогда соотношения (7.15) имеют вид

а

£р

= 40,

= -1,2.

£ =о,6, ^Р = 70,

є-р є-р є-р є-р

Отсюда получаем следующие оценки структурных коэффици-

ентов:

а =150, р: -2, 8 = -50, е = 3.

Перейти от приведенной формы модели к структурной с учетом

соотношения (7.14) можно также следующим образом.

Выразив Т из первого уравнения приведенной формы в виде Р-40

Т- и подставив его во второе, получим 7 = 150-2/',

0,6

т.е. а =150, р = -2. 132

Выразив Т из первого уравнения приведенной формы в виде

Т ———, где Р{ = Р Т, и подставив его во второе, получим 0,4

Y = -50 + ЪРЬ т.е. 5 = -50, є = 3.