1.2. случайные величины

1.2. случайные величины

Случайной величиной (переменной) называется величина, которая под воздействием случайных факторов может с определенными вероятностями принимать те или иные значения из некоторого множества чисел.

Случайные величины обозначаются большими буквами, а их возможные значения — малыми.

Для полной характеристики случайной величины должны быть указаны не только все ее значения, но и их вероятности.

Универсальным способом задания случайной величины X является задание ее функции распределения.

Функцией распределения F{x) случайной величины Хназывает-ся вероятность того, что величина X принимает значение меньшее х, т.е.

F{x) = P{X<x), xeR.

Свойства функции распределения:

О < F(x) < 1 при любых х є R.

P{xx<X<x2) = F(x2)-F(xx).

F(x) — неубывающая функция.

lim F(x) = 0, \mF(x) = l.

Различают дискретные и непрерывные случайные величины.

1. Дискретной называется случайная величина, которая принимает отдельные, изолированные друг от друга значения. Число возможных значений дискретной случайной величины конечно или счетно.

Дискретную случайную величину удобнее задавать не в виде функции распределения, а в виде ряда распределения.

При табличном задании ряда распределения первая строка таблицы содержит возможные значения случайной величины, а вторая — соответствующие им вероятности, т.е.

*' Xl "' , где pi Р(Х = Х/), Хл=1-рх р2 ...) ^

Графическое изображение ряда распределения называется полигоном распределения.

2. Непрерывной называется случайная величина, множество значений которой непрерывно заполняет некоторый числовой промежуток. Число возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно.

Задать непрерывную случайную величину рядом распределения невозможно, поэтому ее задают функцией распределения F(x).

Вместо функции распределения F(x) для непрерывной случайной величины обычно используется плотность распределения вероятностей Дх).

Плотностью распределения /(х) непрерывной случайной величины называется производная от функции распределения, T.e.f(x) = F'(x).

Из определения производной вытекает вероятностный смысл плотности распределения:

. ич . .. F(x + Ах) F(x) Р(х<Х<х + Ах)

f(x) = F (х) = lim — = hm ,

Дх->0 Ах Дх->0 ДХ

т.е. предел отношения вероятности попадания случайной величины X в интервал (х, х + Ах) к длине этого интервала при Ах —> О равен значению плотности распределения вероятностей/(х).

РТз определения плотности распределения следует, что функция распределения F(x) является первообразной для плотности распределения fix).

Свойства плотности распределения:

Дх) > 0 при любых х є R.

Р(х{ < Х<х2) = J7(x)dx.

J f(x)dx

1.

В основе математической статистики лежат понятия генеральной и выборочной совокупностей.

Генеральная совокупность — это множество всех значений (исходов) случайной величины, которые она может принять в процессе наблюдения. Например, данные о доходах всех жителей страны.

Выборочная совокупность (выборка) — это множество наблюдений, составляющих лишь часть генеральной совокупности.

Для любой случайной величины важную роль помимо функции распределения играют числовые характеристики ее распределения.