1.4. точечные и интервальные оценки

1.4. точечные и интервальные оценки

Характеристики генеральной совокупности обычно неизвестны. Задача заключается в их оценке по характеристикам выборочной совокупности.

Характеристики генеральной совокупности принято называть параметрами, а выборочной совокупности — оценками.

Пусть искомый параметр генеральной совокупности есть Ф0, а на основе выборки объема п определяется оценка

Различают точечные и интервальные оценки параметров генеральной совокупности.

Точечной оценкой д параметра #0 называется числовое значение этого параметра, полученное по выборке, т.е. -&0 ~

Для того чтобы выборочная оценка давала хорошее приближение оцениваемого параметра, она должна удовлетворять определенным требованиям (несмещенности, эффективности и состоятельности).

1. Несмещенность оценок. Оценка ■& называется несмещенной,

если ее математическое ожидание равно оцениваемому параметру д0 при любом объеме выборки, т.е.

Если это не так, то оценка называется смещенной, а разность М(д) -Ь0 — смещением.

Таким образом, требование несмещенности гарантирует отсутствие систематических ошибок при оценивании.

Выборочная средняя х является несмещенной оценкой генеральной средней ц, так как М(х) = ц. Тем не менее оценка х не единственная возможная несмещенная оценка ц.

Выборочная дисперсия аг(Х) является смещенной оценкой генеральной дисперсии ах, при этом

М[ат(Х)] = ^-о2х.

п

В качестве несмещенной оценки генеральной дисперсии используется величина (исправленная, или остаточная, дисперсия)

п 1 п 1

для которой M(Sx) = а2.

Отметим, что в знаменателе остаточной дисперсии стоит число степеней свободы (и 1), а не п, так как одна степень свободы теряется при определении выборочной средней.

Замечание. Для получения несмещенной оценки дисперсии случайной величины соответствующую сумму квадратов отклонений от средней делят на число степеней свободы независимого варьирования случайной величины. Число степеней свободы равно разности между числом единиц совокупности п и числом определяемых по ней констант.

Стандартным отклонением Sx случайной величины в выборке называется корень квадратный из ее исправленной дисперсии:

V п -1

По данным примера 1.1 определим Sx и Sx:

Si = -^—шт{Х) = — • 32 = 40, Sx = V40 = 6,324. п-1 5-1

Для вычисления исправленной дисперсии и стандартного отклонения в Excel можно использовать функции

Si = ДИСП(массив х) , Sx = СТАНДОТКЛОН(массив х) .

2. Эффективность оценок. Несмещенная оценка $ называется эффективной, если она имеет минимальную дисперсию по сравнению с другими выборочными оценками, т.е. minZ)("d).

Выборочная средняя х является эффективной оценкой генеральной средней ц, т.е. имеет наименьшую дисперсию в классе несмещенных оценок.

Покажем это для выборки из двух наблюдений ХХ,Х2. Обобщенная оценка

Z\%ХХХ + Х2Х2, где А-1 -н = 1»

является несмещенной, так как

M(Z) = M(kxXx + Х2Х2) = ХХМ(ХХ) + Х2М{Х2) = (Хх + ^2)ц = ц.

Теоретическая дисперсия обобщенной оценки

D(Z) = D(kxXx + l2X2) = X}D(XX) + XD(X2) = (X2X + Xl)a2.

Минимизация дисперсии D(Z) эквивалентна минимизации выражения

Х2Х + \% = Х + (1 Хх)2 = 2Х 2ХХ + 1 -» min.

Минимум этого выражения достигается при ХХ=Х2 = '/2. следовательно, выборочная средняя (Хх + Х2)/2 имеет наименьшую дисперсию.

Этот вывод можно обобщить для выборок любого размера, если наблюдения независимы друг от друга.

3. Состоятельность оценок. Оценка г> называется состоятельной, если при п —> оо она стремится по вероятности к оцениваемому параметру г>0, т.е.

lim /,(ІгЗ-г30|<є) = 1.

2 2337

Иначе говоря, состоятельной называется такая оценка, которая дает точное значение для большой выборки независимо от входящих в нее конкретных наблюдений.

Теорема Чебышёва закона больших чисел утверждает, что lim Р(х ц] < є) = 1,

и—>°°

т.е. выборочная средняя х является состоятельной оценкой генеральной средней ц,.

Пусть выборочная характеристика # служит оценкой неизвестного параметра Ф0. Наряду с точечными оценками параметров (в виде одного числа) рассматривают интервальные оценки (в виде двух чисел — концов интервала).

Интервальной называют оценку, определяющую числовой интервал (д є; й + є), є > 0, содержащий оцениваемый параметр д0, т.е.

■&-£< + ИЛИ |# l^ol < ЄДоверительным интервалом называется интервал |Ф #0| < є, в котором с заданной вероятностью у заключен неизвестный параметр $о, а сама вероятность называется доверительной вероятностью, т.е.

Р(д-Ъ0\<Е) = у.

Уровнем значимости а называется вероятность Р(|т5 Ф0| > є) = а, причем а = 1 у.