4.3. нелинейные регрессионные модели
4.3. нелинейные регрессионные модели
При анализе расходов на продовольственные товары в общих расходах (\%) семи семей Москвы в зависимости от среднемесячной заработной платы (тыс. руб.) получены следующие данные, представленные в табл.4.3.1
Требуется найти оценки параметров следующих функций:
равносторонней гиперболы
степенной
показательной
Применение метода наименьших квадратов возможно в случае использования функций с линейными параметрами. Поэтому прежде, чем переходить к нахождению неизвестных коэффициентов уравнения регрессии, необходимо привести функцию с нелинейными параметрами к линейному виду.
1. Уравнение равносторонней гиперболы у=а+Ь ' — приводится к линейному виду
x
1
путем замены переменных: z = — .
x
Тогда исходное уравнение принимает следующий вид: у = а+ b ' z. Для расчетов используем вспомогательную табл. 4.3.2.
Значения параметров регрессии а и b получим, используя следующие формулы:
, yz -y х z 1.0723 -57.9• 0.0184 ЛпеЛ Л
b 2 2 ~ 1051.4,
s2z 0.0021452 a =y b • z = 57,89 -1051,4.0,0184 =38,5.
Искомое уравнение регрессии будет иметь следующий вид: y =38,5+1051,4 ' —.
x
2. Для построения степенной модели y = a ' xb сначала необходимо провести линеаризацию переменных, путем логарифмирования обеих частей уравнения:
lgy=lga+b • lgx; Обозначив через Y=lgy, X=lgx, C=lga, получим: Y=C+b 'X.
Для расчетов используем данные вспомогательной табл. 4.3.3.
Рассчитаем С и b по формулам:
b = YX Y х X = 30572 -1.7605 ■ 1.7370 ^ _Q ш
= s 2 = 0.04842 ~ . '
X
С = Y b ■ X = 1,7605 + 0,298 ' 1,7370 = 2,278.
Получим линейное уравнение: Y = 2,278-0,298 ' X. Далее, выполнив его потенцирование, получим:
y = 102278 ■ x-°-298 = 189.7■ x-0298.
3. Построению уравнения показательной кривой у= а ' bx предшествует процедура линеаризации переменных при логарифмировании обеих частей уравнения
lgy=lga+x ' lgb
Обозначив Y= lg y, C= lg а, В = lg b, получим: Y=C+B ' x. Для расчетов используем данные табл. 4.3.4.
s 2 X
Y ■ x Y ■ x 96.5711 -1.7605 ■ 54.9
5.862
■ -0.0023,
форме:
А = Y B ■ x= 1,7605 + 0,0023 ' 54,9 = 1,887. Получено линейное уравнение: Y = 1,887 0,0023 ' x.
Произведем потенцирование полученного уравнения и запишем его в обычной
y = 101887 . 10-00023x = 77,1 ' 0,9947х.
Обсуждение Эконометрика
Комментарии, рецензии и отзывы