1.7. тренировочный пример

1.7. тренировочный пример: Эконометрика, В.С. Мхитарян, 2008 читать онлайн, скачать pdf, djvu, fb2 скачать на телефон Рекомендовано Учебно-методическим объединением по образованию в области статистики в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по специальности 061700 «Статистика» и другим экономическим специальностям.

1.7. тренировочный пример

Деятельность n = 8 карьеров характеризуется себестоимостью 1т. песка (X1), сменной добычей песка (X2) и фондоотдачей (X3). Значения показателей представлены в таблице.

X1 (тыс.руб)

30

20

40

35

45

25

50

30

Х2 (тыс.руб)

20

30

50

70

80

20

90

25

Хз

20

25

20

15

10

30

10

20

Требуется:

Оценить параметры генеральной совокупности, которая предполагается нормально распределенной.

При а = 0.05 проверить значимость частных коэффициентов корреляции р 12/3, Р13/2 и р 23/1 и при у = 0.95 построить интервальную оценку для р 13/2 .

Найти точечную оценку множественного коэффициента корреляции р 1/23 и при

а =0.05 проверить его значимость. Решение:

1. Найдем значения средних арифметических ( x j ) и средних квадратических от 

клонений (S j ), где j =1, 2, 3, а также парных коэффициентов корреляции r12, r13 и r23 по формулам:

_ 30 + 20 + 40 + 35 + 45 + 25 + 50 + 30 „„„„г г

x1 = = 34.375 тыс. руб.

8

х2 = 48.125 х3 =18.75

Si=9,49

S 2 = S3 = 26,68 . 6,48

'12

1875 34.375 x 48,125 9.49 x 26,68

220.70 9.49 x 26.68

0.871,

где X1 X2

~Z XnX,2 = 1 (30 x 20 + 20 x 30 + 40 x 50 +... + 30 x 25) = 1875

n i=1 8

Подпись: 0.871
v-0.874
В результате расчетов получим:

26.68 6.48

f34.38Л ( 9.49 Л f 1

X

; R=

48.12 ; S= v 18.75у

0.871 1

-0.879

-0.874Л

0.879 1

2. Предварительно найдем точечные оценки частных коэффициентов корреляции

из выражения

r =

1 12/3

R

12

yJRu x R

R12 =

1

-0.879 1

-0.874 1

0.445

где R12 алгебраическое дополнение элемента r12 корреляционной матрицы R, а R11 и R22 алгебраические дополнения 1-го и 2-го диагонального элемента этой матрицы 0.871 0.879І

-0.103

0.227

R11 =

-0.874 1

0.236

R22 =

-0.879 1

'12/3

-0.874 0.103

V0.227 x 0.236

Аналогично находим: r13/2=-0.462 и r23/1 =-0.494.

Для проверки значимости частных коэффициентов корреляции найдем гкр. (а = 0.05, v = n-l-2 = 5) = 0.754, где l порядок коэффициента корреляции (число фиксированных признаков). В нашем примере l = 1.

Так как |r| <гкр.=0.754, то гипотезы Н0: р=0 не отвергаются, т. е. предположение о

равенстве его нулю не противоречит наблюдениям, но n = 8 мало.

Определим интервальную оценку для р 13/2 при у =0.95. Для этого используем Z-преобразование Фишера и предварительно найдем интервальную оценку для Z из условия:

Z є

L

1

-l-3

По таблице Z-преобразования Фишера для r13/2= -0.462, учитывая, что Z'(-r) = -Z'(r), будем иметь Z'(-0,462) = -0.497. По таблице нормального закона из условия Ф(і) = 0.95 найдем t = 1.96.

Тогда

Z є

і

1

0.497 ± 1.96

8 4

откуда Z є[-1.477,0.483].

По таблице Z-преобразования для Zm;n= -1,477 и Zmax= 0.483 найдем интервальную оценку для р 13/2:

Р1з/2є[0.9,0.45].

Полученная интервальная оценка подтверждает вывод о незначимости частного коэффициента корреляции р 13/2, т. к. ноль находится внутри доверительного интервала.

3. Найдем точечную оценку множественного коэффициента корреляции р 1/23 и при а=0.05 проверим его значимость.

Точечная оценка определяется по формуле:

r1/23 = 11 , где Щ определитель корреляционной матрицы.

Щ = 1+0.871(-0.879)(-0.874)+0.871(-0.879)(-0.874) (0.874)2 0.8712 (-0.879)2

=0.043.

м 0.043 nnn

r1/23 = , 1 = 0.90.

1/23 V 0.227

Проверим гипотезу Н0: р 1/23 = 0

1 2 1

r12/23 1 0.81

Бнабл = k-1 = -| = 10.66,

где /=2.

Критическое значение по таблице F-распределения Бкр (а=0.05, v1 =2, v 2 =5) = 5.79

Т. к. Енабл>Бкр, то гипотеза Н0 отвергается, т. е. множественный коэффициент корреляции не равен нулю (р 1/23 ^ 0).

1.8. Задание для самостоятельного решения

По данным n=10 машиностроительных предприятий методами корреляционного анализа исследуется взаимосвязь между следующими показателями: х1 рентабельность (\%); х2 премии и вознаграждения на одного работника (млн.руб.); х3 фондоотдача.

N п/п

Х

Х

Х

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

13,26

10,16

13,72

12,82

10,63

9,12

25,83

23,39 14,68 10,05 1,23

1,04

1,80 0,43 0,88 0,57 1,72 1,70 0,84 0,60 1,45

1,30 1,37 1,65

1,91

1,68 1,94 1,89 1,94 2,06

Требуется:

а) рассчитать вектора средних и среднеквадратических отклонений, матрицу парных коэффициентов корреляции (х, S, R);

б) проверить при а=0,05 значимость парного коэффициента корреляции р12 и найти

его интервальную оценку с доверительной вероятностью у=0,95;

в) по корреляционной матрице R рассчитать частный коэффициент корреляции

r12/3;

г) проверить при а=0,05 значимость частного коэффициента корреляции р12/3 и определить его интервальную оценку при у=0,95;

д) по корреляционной матрице R вычислить оценку множественного коэффициента

корреляции r1(23) и при а=0,05 проверить гипотезу H0: гц2;3)=0.

Задание выполняется по вариантам. Каждый должен вычеркнуть объект №, соответствующий последней цифре зачетной книжки. Так, например, если последняя цифра номера вашей зачетной книжки равна 2, то вы вычеркиваете второй объект.

2. Регрессионный анализ 2.1. Основы регрессионного анализа

Регрессионный анализ это статистический метод исследования зависимости случайной величины Y от переменных Xj (j = 1, 2, k), рассматриваемых в регрессионном анализе как неслучайные величины независимо от истинного закона распределения Xj.

Обычно предполагается, что случайная величина Y имеет нормальный закон распределения с условным математическим ожиданием Y = (x1,..., Xk), являющимся функцией от аргументов xj, и с постоянной, не зависящей от аргументов дисперсией а2 .

Для проведения регрессионного анализа из (k+1) -мерной генеральной совокупности (Y,X1,X2,...,Xj,...,Xk) берется выборка объемом n и каждое i-ое наблюдение (объект)

характеризуется значениями переменных (y i , xi1, xi2x ij x ,k ), где x j значение

j-ой переменной для i-го наблюдения (i=1,2,...,n), y; значение результативного признака для i-го наблюдения.

Наиболее часто используемая множественная линейная модель регрессионного анализа имеет вид:

y = р0 +Р1ХІ1 +..+pjXij+..+pkXik+Si, (2.1)

где случайные ошибки наблюдения, независимые между собой, имеют нулевую среднюю и дисперсию а2 .

Отметим, что модель (2.1) справедлива для всех i = 1,2,.., n , линейна относительно неизвестных параметров р0, р1,..., Pj,..., Pk и аргументов.

Как следует из (2.1) коэффициент регрессии Pj показывает, на какую величину в среднем изменится результативный признак Y, если переменную Xj увеличить на единицу измерения, т. е. является нормативным коэффициентом.

В матричной форме регрессионная модель имеет вид:

Y = Xp + s (2.2)

где Y случайный вектор столбец размерности (n x 1) наблюдаемых значений результативного признака (y1, y2,..., yn); X матрица размерности [n x (k+1)] наблюдаемых

значений аргументов. Элемент матрицы xj рассматривается как неслучайная величина

(i =1,2,...,n; j=0,1,2,...k); P вектор столбец размерности [(k+1) x 1] неизвестных, подлежащих оценке параметров (коэффициентов регрессии) модели; s случайный вектор -столбец размерности (n x 1) ошибок наблюдений (остатков). Компоненты вектора si независимы между собой, имеют нормальный закон распределения с нулевым математическим ожиданием (Ms/ = 0) и неизвестной дисперсией а2 (Ds/ = а2 ).

На практике рекомендуется, чтобы n превышало k не менее, чем в три раза. В модели (2.2)

x11

X=

Г

; P

Xn1

Xnk J

VУп J

Единицы в первом столбце матрицы призваны обеспечить наличие свободного члена в модели (2.1). Здесь предполагается, что существует переменная х0, которая во всех наблюдениях принимает значения, равные 1.

Основная задача регрессионного анализа заключается в нахождении по выборке объемом n оценки неизвестных коэффициентов регрессии Ро, в1,..., Pk модели (2.1) или вектора Р в (2.2).

Так как в регрессионном анализе Xj рассматриваются как неслучайные величины, а Ms, = 0, то согласно (2.1) уравнение регрессии имеет вид:

~ = Ро + + -+ejxj + -+Ра , (2.3)

для всех /'= 1,2,...,n, или в матричной форме:

~ ~ = XP, (2.4)

где Y вектор-столбец с элементами ~1v..,~.,...,j~n.

Для оценки вектора Р наиболее часто используют метод наименьших квадратов (МНК), согласно которому в качестве оценки принимают вектор b, который минимизирует сумму квадратов отклонения наблюдаемых значений yt от модельных значений уг-, т. е. квадратичную форму:

Q=(Y XP) T (Y XP) = £ (y ~ )2 ^ min .

Наблюдаемые и м одельные значения показаны на рис. 2.1.

Дифференцируя с учетом (2.4) и (2.3) квадратичную форму Q по р0,р1,...,рк и приравнивая производные нулю, получим систему нормальных уравнений:

dpk

0

для всехj = 0,1,..., k,

решая которую и получаем вектор оценок b, где b=(b0 b1...bk)T.

Согласно методу наименьших квадратов, вектор оценок коэффициентов регрессии получается по формуле:

b = (XTX)XTY, (2.5)

(b0

b

V bk J

где X транспортированная матрица X; (XTX)-1 матрица, обратная матрице XTX.

Зная вектор оценок коэффициентов регрессии b, найдем оценку у€г уравнения регрессии:

Уг = Ь0 + Ь1Хг1 + Ь2Хг2 + ... + bk . (2.6)

Или в матричном виде: y = Xp*,

где У AvУ n J .

Оценка ковариационной матрицы коэффициентов регрессии вектора b определяется из выражения:

S (b) = S2(XTX)-1, (2.7)

где

S2

1

n k -1

(Y Xb)T (Y Xb).

(2.8)

(2.9)

Учитывая, что на главной диагонали ковариационной матрицы находятся дисперсии коэффициентов регрессии, имеем:

S2b<j-„ = [(XTX)-1 [j дляj=1,2,...,k,k+1

Эконометрика

Эконометрика

Обсуждение Эконометрика

Комментарии, рецензии и отзывы

1.7. тренировочный пример: Эконометрика, В.С. Мхитарян, 2008 читать онлайн, скачать pdf, djvu, fb2 скачать на телефон Рекомендовано Учебно-методическим объединением по образованию в области статистики в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по специальности 061700 «Статистика» и другим экономическим специальностям.