4.1. автокорреляция уровней временного ряда
4.1. автокорреляция уровней временного ряда
При наличии во временном ряде тенденции и циклических
колебаний значения каждого последующего уровня ряда зависят от
предыдущих. Корреляционную зависимость между последовательными
уровнями временного ряда называют автокорреляцией уровней ряда.
107
Количественно ее можно измерить с помощью линейного коэффициента корреляции между уровнями исходного временного ряда и уровнями этого ряда, сдвинутыми на несколько шагов во времени.
Формула для расчета коэффициента автокорреляции имеет вид:
Г = , 1=2 , (4.1)
п
t=2 t=2
где
уі = ~ X yt, у2 = 7 X у-1.
= _ 1 ^ _ 1
-1 t=2 -1 t=2
Эту величину называют коэффициентом автокорреляции уровней ряда первого порядка, так как он измеряет зависимость между соседними уровнями ряда yt и yt-1.
Аналогично можно определить коэффициенты автокорреляции второго и более высоких порядков. Так, коэффициент автокорреляции второго порядка характеризует тесноту связи между уровнями yt и у[-2 и определяется по формуле:
г2 = , -=3 , (4.2)
п
.2"
t=3 t=3
где
У3 = Г X yt, У4 = Г X yt-2.
2 t=3 2 t=3
Число периодов, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, называют лагом. С увеличением лага число пар значений, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, уменьшается. Считается целесообразным для обеспечения
статистической достоверности коэффициентов автокорреляции использовать правило максимальный лаг должен быть не больше п/ 4. Свойства коэффициента автокорреляции.
Он строится по аналогии с линейным коэффициентом корреляции и таким образом характеризует тесноту только линейной связи текущего и предыдущего уровней ряда. Поэтому по коэффициенту автокорреляции можно судить о наличии линейной (или близкой к линейной) тенденции. Для некоторых временных рядов, имеющих сильную нелинейную тенденцию (например, параболу второго порядка или экспоненту), коэффициент автокорреляции уровней исходного ряда может приближаться к нулю.
По знаку коэффициента автокорреляции нельзя делать вывод о возрастающей или убывающей тенденции в уровнях ряда. Большинство временных рядов экономических данных содержат положительную автокорреляцию уровней, однако при этом могут иметь убывающую тенденцию.
Последовательность коэффициентов автокорреляции уровней первого, второго и т.д. порядков называют автокорреляционной функцией временного ряда. График зависимости ее значений от величины лага (порядка коэффициента автокорреляции) называется
коррелограммой.
Анализ автокорреляционной функции и коррелограммы позволяет определить лаг, при котором автокорреляция наиболее высокая, а следовательно, и лаг, при котором связь между текущим и предыдущими уровнями ряда наиболее тесная, т.е. при помощи анализа автокорреляционной функции и коррелограммы можно выявить структуру ряда.
Если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции
первого порядка, исследуемый ряд содержит только тенденцию. Если
наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции порядка k , то
109
ряд содержит циклические колебания с периодичностью в к моментов времени. Если ни один из коэффициентов автокорреляции не является значимым, можно сделать одно из двух предположений относительно структуры этого ряда: либо ряд не содержит тенденции и циклических колебаний, либо ряд содержит сильную нелинейную тенденцию, для выявления которой нужно провести дополнительный анализ. Поэтому коэффициент автокорреляции уровней и автокорреляционную функцию целесообразно использовать для выявления во временном ряде наличия или отсутствия трендовой компоненты и циклической (сезонной) компоненты.
Рассмотрим пример. Пусть имеются некоторые условные данные об общем количестве правонарушений на таможне одного из субъектов
РФ (например, Республики Татарстан).
Уже исходя из графика видно, что значения y образуют
пилообразную фигуру. Рассчитаем несколько последовательных коэффициентов автокорреляции. Для этого составляем первую вспомогательную таблицу.
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
10 | 355 | 390 | -344,93 | -273,13 | 94210,73 | 118976,70 | 74600,00 |
11 | 992 | 355 | 292,07 | -308,13 | -89995,53 | 85304,88 | 94944,10 |
12 | 905 | 992 | 205,07 | 328,87 | 67441,37 | 42053,70 | 108155,48 |
13 | 461 | 905 | -238,93 | 241,87 | -57790,00 | 57087,54 | 58501,10 |
14 | 454 | 461 | -245,93 | -202,13 | 49709,83 | 60481,56 | 40856,54 |
15 | 920 | 454 | 220,07 | -209,13 | -46023,24 | 48430,80 | 43735,36 |
16 | 927 | 920 | 227,07 | 256,87 | 58327,47 | 51560,78 | 65982,20 |
Сумма | 10499 | 9947 | 0,05 | 0,05 | 74085,13 | 1153760,93 | 1187469,73 |
Среднее значение | 699,93 | 663,13 | - | - | - | - | - |
Следует заметить, что среднее значение получается путем деления
не на 16, а на 15, т.к. у нас теперь на одно наблюдение меньше.
Теперь вычисляем коэффициент автокорреляции первого порядка по формуле (4.1):
74085,13 = 0,063294.
1 ^1153760,39 1187469,73
Составляем вспомогательную таблицу для расчета коэффициента автокорреляции второго порядка.
Следовательно
-1034792,71
r2 = , 9 =-0,961183.
2 ^1037835,43 • 1116776,36
Аналогично находим коэффициенты автокорреляции более высоких порядков, а все полученные значения заносим в сводную таблицу.
Таблица 4.4
Анализ коррелограммы и графика исходных уровней временного ряда позволяет сделать вывод о наличии в изучаемом временном ряде сезонных колебаний периодичностью в четыре квартала.
Обсуждение Эконометрика. Учебно-методическое пособие
Комментарии, рецензии и отзывы