3.5.3. моделирование случайностей

3.5.3. моделирование случайностей

При построении моделей систем значительная часть усилий тратится на попытки отображения в них случайностей, возникающих при функционировании систем, а также случайных воздействий на системы извне. И это вполне оправдано, поскольку большинство встречающихся в реальности систем относятся к стохастическим объектам, т. е. в рамках этих объектов действуют случайные явления (например, выходит из строя оборудование в заранее не предусмотренные моменты времени, появляется брак в случайном количестве, изменяются погодные условия, что приводит к случайным изменениям параметров технологических процессов, и т.п.). Модели, которые включают в себя отображение случайностей, получили название стохастических. Для создания таких моделей нужно уметь строить специфические алгоритмы, моделирующие случайности. При этом имеют дело со случайностями следующего рода:

случайные события, т. е. явления, которые могут произойти или не произойти при совокупности условий; в процессе моделирования событий задаются вероятности их осуществления;

дискретные случайные величины, т.е. величины, принимающие отдельные изолированные возможные значения с определенными вероятностями; эти величины задаются с помощью закона распределения;

 векторы случайных величин (непрерывных и дискретных), заданные соответствующими вероятностными характеристиками (совместным законом распределения);

случайные функций (процессы), т.е. функции, которые в результате опыта принимают тот или иной вид зависимости от аргументов, неизвестно заранее какой; они заданы соответствующими вероятностными характеристиками (математическим ожиданием, корреляционной функцией).

Любая из перечисленных случайностей в модели может быть отображена либо аналитически (если она поддается точному описанию на основе формул и теоретических положений теории вероятностей и математической статистики), либо алгоритмически (точно или приближенно), т.е. с помощью построения программы для ЭВМ. Для любых случайных объектов процесс их воспроизведения на ЭВМ сводится к генерации и преобразованию последовательности случайных чисел (обычно — к реализации независимых равномерно распределенных случайных чисел на отрезке (0,1)). Это означает, что сначала получают случайные числа, равномерно распределенные на отрезке (О, 1), а затем на их основе с помощью различных формул и алгоритмов моделируют нужные случайности. Программы, позволяющие генерировать последовательности случайных чисел (в том числе и равномерно распределенные), называют датчиками, и они содержатся в математическом обеспечении любой ЭВМ.

Пример моделирования случайности. Предположим, что мы должны построить модель и с ее помощью оценить время транспортировки какого-то изделия на достаточно большое расстояние. Для оценки этого времени, а оно зависит от многих случайностей, которые могут произойти в процессе транспортировки, мы воспользуемся мнением эксперта. Но попросим его оценить не усредненное время транспортировки, а сообщить нам три оценки времени: оптимистическую оценку (А), пессимистическую (С) и наиболее вероятную (В). Далее нам необходимо построить модель, которая имитировала бы время транспортировки (рис. 3.7). По сути это будет датчик случайных чисел, выдающий числа, соответствующие оценкам эксперта А, В, Си закону распределения случайных чисел, которому подчиняются указанные оценки. В данном случае это будет треугольный закон распределения. Дифференциальная и интегральная функции распределения для данного случая изображены на рис. 3.7. Обозначим неизвестный датчик (и выдаваемые им числа) через X.

Решить задачу построения данной модели можно различными способами. Воспользуемся следующими соображениями. Практически в любой системе моделирования или программирования имеется датчик случайных чисел, равномерно распределенный на интервале (0,1). Розыгрыш случайного числа с помощью такого датчика мы обозначили буквой R (для объяснения выделили два отдельных числа из такого розыгрыша — R1 и R2). Из графиков функций видно, что R — вероятность того, что X примет значение, меньшее чем некоторое число х (на рисунке нарисованы два случая для х = x1 и х =x2).

-

Рис. 3.7. Функции распределения оценки времени транспортировки

Отметим, что для данного треугольного распределения имеется особая точка, определяющая, где будет находиться X — левее или правее В. Вероятность того, что X примет меньшее или равное В значение, составляет (В—А)/(С—А} — это площадь треугольника АВН. Из этого следует, что если R £ (С-А)/(В—А), то мы должны Х считать по одной формуле, а если R > (В—А)/(С—А), то по другой. Определим необходимые формулы. Это легко сделать, зная, что квадраты сторон подобных треугольников АН1х1 и АНВ соотносятся как их площади (а они равны соответственно R и (В—А)/(С—А)). Учитывая также, что площадь треугольника х2Н2С равна (1 — R), определим X следующим образом:

В-А

А+ R( С-А)(В-А),если R£ С-А

Х= В-А

С(1R)(В-А)(С-В), если R> С-А .

Таким образом, имея датчик случайных чисел R и оценки эксперта времени транспортировки А, В, С, мы можем построить программу для ЭВМ, которая будет имитировать время транспортировки изделия.