2.6 эквивалентные нормы

2.6 эквивалентные нормы

Очевидно, что знание годовой номинальной нормы процента бессмысленно, если не задана частота конверсий. Вместе с тем часто желательно знать полное годовое приращение на каждый рубль первоначальной основной суммы. Для этого вводится новое понятие -годовая эффективная норма. Годовая эффективная норма r , соответствующая заданной номинальной норме j , конвертируемой m раз в год, это полная сумма процентов, начисленных за год на каждый рубль основной суммы (капитала), имевшейся в начале года.

Для определения годовой эффективной нормы, соответствующей заданной номинальной норме j , конвертируемой с заданной частотой m , достаточно найти накопленную за год сумму при номинальной норме и приравнять ее к сумме, накопленной при эффективной норме r . Сумма, которую накопит 1 рб за 1 год при норме j , конвертируемой m раз, равна (1 + i) т , где i = j/m . При эффективной норме r 1 рб за 1 год накопит сумму (1 + r) . Приравнивая эти суммы, имеем

1 + r = (1 + i)m = (1 + (j/m))m (3)

Равенство (3) связывает три величины, так что если две из них заданы, то третья может быть из него определена.

ПРИМЕР 1 Какая эффективная годовая норма соответствует номинальной норме j = 0,06 (6\% , m = 3) ?

РЕШЕНИЕ 1 рб за год обеспечит итоговую сумму

(1 + (0,06)/3) = (1 + 0,02) = 1,0612

Поэтому годовая эффективная норма равна 6,12\%.

ПРИМЕР 2 Найти годовую номинальную норму, конвертируемую поквартально, соответствующую эффективной норме 6\% .

РЕШЕНИЕ В этом случае m = 4 , r = 0,06 .

1 + r = 1,06 = (1 + i)4

Отсюда log(l + /) = (1/4) log(l,06) = 0,01457 или 1 + i = 1,01467. Наконец j = mi = 4 x 0,01467 = 0,0587.

Любые две нормы процента, номинальные или эффективные, которые дают одну и ту же составную итоговую сумму в конце года называются годовыми эквивалентными или, более кратко, эквивалентными. Например, номинальная норма, конвертируемая ежемесячно, и другая номинальная норма, конвертируемая поквартально, являются эквивалентными, если они приводят к одной и той же итоговой сумме в конце года, то есть j12 и j4 эквивалентны, если справедливо равенство (1 + j12 /12)12 = (1 + j4 /4)4 .

Поскольку эквивалентные нормы дают одинаковую итоговую сумму за год ( а значит и за любое количество лет ) при любой основной сумме, логично принять следующий принцип :

в математике финансов всегда разрешается заменять заданную норму процента на эквивалентную ей. Важность этого принципа будет ясной из последующего. Например, если норма процента в какой-либо задаче равна j12 = 0,05 , она может быть заменена нормой процента j4 = 0,0502 .