4.5 тождества, связывающие накопления и аннуитеты

4.5 тождества, связывающие накопления и аннуитеты

Функции составных платежей широко используются в финансовых расчетах, связанных с платежами распределенными во времени. Для основных из них составлены таблицы, принципы составления которых отражены в приложении к книге. Важную роль при финансовых расчетах играют также тождества, которые устанавливают часто используемые взаимоотношения между функциями составных платежей s и а .

Воспользуемся равенством (2)

S = A(1 + і)п .

Подставляя в это равенство значения S и A по формулам (1) и (3) и сокращая обе части равенства на R , получим

s_. = (1 + і) п а -, . (11)

ni х 7 ni х 7

Эта формула и определяет первое тождество, связывающее рассматриваемые функции.

Далее, из определения

(і + і )" -1

"Iі і

следует, что

1 + і s = (1 + і) п .

Поделив это равенство на (11), мы получим второе тождество

11

тг+1 = az~ (i2)

Оба тождества (11) и (12) справедливы для любых значений параметров " и і .

В дополнение к только что полученным тождествам можно добавить и ряд других важных тождеств. Некоторые из них предлагается получить в порядке выполнения нижеследующих упражнений. Важность этих тождеств можно оценить тогда, когда при расчетах необходимо определять значения функций составных платежей для таких " , которые лежат за пределами имеющихся таблиц.

ПРИМЕР При приобретении дома необходимо заплатить 20 млн рб в день покупки и выплачивать 750 тыс рб ежемесячно в течение следующих 20 лет. Если деньги стоят j12 = 6\% , какова стоимость дома на день покупки ?

РЕШЕНИЕ Поместим исходные данные на временную диаграмму

0 1 2 3 ... 240

I I I I I

20 млн 750 тыс 750 тыс 750 тыс ... 750 тыс

X

Уравнение эквивалентности с датой сравнения в день покупки

X = 20000 + 750 х а —, .

2 4 0 |0 , 0 0 5

Обычно таблицы для функций составных платежей содержат значения этих функций для n , не превышающих 200. Поэтому значение функции а 2jo-|0 0 0 5 не может быть получено из таблицы непосредственно и его

нужно определять некоторым другим способом. Мы используем тождество, основанное на формуле (10) ( см. также упражнение 4 ).

а—-, = (1 + i)-ка—, + а—, .

При n = 200 , к = 40 , i = 0.005 это тождество дает

а , = (1,005) "40 а , + а _, =

2 4 0 |0 ,0 0 5 V ■> J 2 0 0 |0 , 0 0 5 4 0 |0 , 0 0 5

= 0,81913886 х 126,24055430 + 36,17222786 = 139,58077 так что эквивалентная стоимость дома на день покупки

X = 20000 + 750 х 139,58077 = 124685,6 тыс рб. УПРАЖНЕНИЯ 4.1

Доказать справедливость следующих равенств

(1 + i) я-, = s , 1.

(1 + i) а -, = а , + 1.

s -, = + (1 + i)п s-, = (1 + i) k + s-, .

а —_, = + (1+ i) n а -, = (1+ i)'k а + а .

s —-і = s -і (1 + i) n а —, = (1 + i) k s -і а —і .

а —-1 = а -і (1 + i) n s -> = (1 + i) k а -, s -> .

n + k i n^^^ 4 7 ki x y ni ki