4.7 аннуитеты с неизвестными сроками

4.7 аннуитеты с неизвестными сроками

Предположим, что человек занимает 10 млн рб и согласен выплатить долг при норме процента j4 = 4\% платежами по 500 тыс рб в конце каждого квартала в течение необходимого времени. Ясно, что платежи образуют аннуитет, текущая стоимость которого на день займа равна 10 млн рб. То есть

10000 тыс рб = 500 х a-| 1\% тыс рб или a-| 1\% = 20 ,

где n является неизвестным. Обратившись к таблицам, мы увидим, что для целого n полученное равенство не может удовлетвориться, действительно,

a22|1\%= 19,66037934 и a-|10\% = 20,45582113 .

В этой ситуации обычно делается 22 платежа по 500 тыс рб каждый, а 23-ий платеж делается меньшей суммой, но достаточной, чтобы расплатиться с долгом.

В общем случае, когда заданы A , R и i , практически никогда соответствующий параметр n не бывает целым. Поэтому приходится использовать один платеж, отличающийся от R , чтобы обеспечить эквивалентность выплат. Обычно этот платеж является последним и по величине меньше, чем R , хотя это и не является необходимым. Определение величины последнего платежа производится с использованием все того же уравнения эквивалентности. Рассмотрим это на примерах.

ПРИМЕР 1 Предположим, что заемщик в вышеописанной ситуации подписывает сделку с 22-мя поквартальными платежами и последним платежом в конце 23-го квартала величиной F, достаточной для погашения оставшейся части долга. Чему равна F ?

РЕШЕНИЕ Представим исходные данные на временной диаграмме

О 1 2 3 ... 21 22 23

I I I I I I I

5ООт 5ООт 5ООт ... 5ООт 5ООт F

10 млн

Способ 1. Выпишем уравнение эквивалентности, используя в качестве даты сравнения конец 22-го периода. Это даст

F (1,О1) -1 + 5ОО = 1ОООО х (1,О1) 22 .

Разрешая это уравнение относительно F , получим

F = ( 12447,16 12235,79 )(1,О1) = 231,5 тыс рб.

Способ 2. Введем по одному дополнительному платежу 5ОО тыс рб в день окончания 23-го периода и используем эту дату как дату сравнения в уравнении эквивалентности получившихся платежей

F + 5ОО s-|10\%= 1ОООО х (1,О1) 23 + 5ОО F = 12571,63 + 5ОО 12858,15 = 213,5 тыс рб.

Когда заданы величины S , R и i , расчет серии платежей проводится аналогично.

ПРИМЕР 2 Вклады по 1ОООО рб делаются в сберегательный банк по полугодиям при норме процента j2 = 3\% . На какую дату попадает заключительный вклад, не превышающий 1ОООО рб, если сумма на депозитном счете становится равной 3ООООО рб ? Каким будет этот заключительный вклад ?

РЕШЕНИЕ Вклады будут образовывать аннуитет с итоговой суммой 3ООООО рб. Поэтому имеет место равенство

3ООООО = 1ОООО х s-{ 1,5\% или sn ^ = 3О ,

где n неизвестно. Из таблиц находим, что

s-|15\% = 28,63352О8О и s-|1>5\% = 3О,О63О2361 .

Следовательно, нужно сделать 24 вклада по 10000 рб и заключительный вклад F в конце 25-го периода. Представим это на временной диаграмме

0 1 2 3 ... 23 24 25

I I I I I I I

10т 10т 10т ... 10т 10т F

300т

F определяется из подходящего уравнения эквивалентности.

Способ 1. В качестве даты сравнения используем конец двадцать

четвертого интервала платежа; тогда имеем

F (1,015) -1 + 10000 ^-|15\% = 300000 (1,015) -1

Разрешаем это равенство относительно F

F = 300000 290630 = 9370 рб.

Способ 2. Добавим по вкладу 10000 рб в каждую строчку диаграммы в конце двадцать пятого периода и выберем эту дату в качестве даты сравнения уравнения эквивалентности.

F + 10000 s-|15\% = 300000 + 10000 ,

откуда получаем

F = 310000 10000 х 30,06302361 = 9370 рб.