4.8 определение заключительного платежа с помощью интерполяции

4.8 определение заключительного платежа с помощью интерполяции

Когда A , R и i ( или S , R и i ) заданы, уравнение аннуитета A = R а пi ( или S = R s -| i ) может быть разрешено относительно n или путем

интерполяции или при помощи логарифмирования. Процедура расчета простая, но появляется проблема интерпретации нецелого решения.

Например, если уравнение аннуитета приводит к равенству а пi = 20 , как встретилось в предыдущем разделе, интерполяция дает результат п = 22,42696. Легко проверить, что произведение дробной части этого решения на величину периодического платежа дает точное значение заключительного платежа F, определяемого в примере 1 ,

500000 х 0,42696 = 21348 рб.

Оказывается это имеет место и в общем случае.

Пусть даны A , R и i . Значение п определим с помощью интерполяции. Представим п в виде k + f , где k целое число, а f дробная часть, f < 1. Тогда F = f R равно заключительному платежу, выплачиваемому через один период после последнего платежа R и обеспечивающему эквивалентность платежей. Докажем это. Из уравнения аннуитета имеем а -і = A/R . Составим таблицу данных

k k + f k + 1

a -і A / R a -—,

k|i k + 1 i

Из уравнения пропорции получим

J_ = a Лі

1 a 1 - a —і

k + 1 i k i

Знаменатель этой формулы можно вычислить по формуле (10) при п = 1 с учетом того, что a -,. = (1 + i) -1 . Это дает следующее выражение для f

О + i)

Умножая это равенство на R(1 + i) -k_1, получим

f R (1 + і) "ы = A R aAi.

С другой стороны, если F определять при помощи уравнения эквивалентности с датой сравнения в начале первого интервала платежа, мы получим согласно диаграмме

О 1 2 3 ... k-l к k+l

I I I I I I I

R R R ... R R F

A

следующее уравнение эквивалентности стоимостей

A = R aF|. + F(1 + i) -kA .

Сравнивая этот результат с предыдущим, убеждаемся, что в условиях линейной интерполяции F = f R , что и требовалось.

Таким образом, когда уравнение аннуитета a -|. = A/R разрешается

относительно n приближенно при помощи линейной интерполяции, дробная часть n может интерпретироваться как дробная часть R , необходимая в качестве заключительного платежа F , когда F выплачивается одним периодом позже последнего платежа R .

В заключение заметим, что точное значение n находится из уравнения аннуитета, записанного в явной форме

1 (1 + i) ~n A

a -і = = —

nv i R

что может быть переписано более удобно

(1 -iA/R)(1 + i)п = 1 .

Логарифмируя это равенство и выражая затем n , получим его точное значение в виде

n = (log(1 iA/R)) / log(1 + i).

К сожалению, это выражение не поддается практической интерпретации.