8.5 оценивание облигаций между датами начисления процентов

8.5 оценивание облигаций между датами начисления процентов

Формулы для покупной цены (1) и (2) были получены для облигаций, покупаемых в день начисления процентов, когда продавец удерживает процентные платежи этого дня, а покупатель получает контракт, содержащий все будущие платежи за облигацию. Очевидно, облигации могут продаваться и покупаются в произвольные дни. Следовательно, нам необходим способ определения стоимости облигации между датами начисления процентов по облигации.

Как мы видели, реальная стоимость облигации зависит от нормы процентов, которая приносит доход, и от того покупается ли она в день начисления процентов или нет. Предположим, что облигация покупается между датами начисления процентов по ней с целью получения инвестором процентов с нормой i . Пусть P0 представляет покупную цену облигации на предшествующую дату начисления процентов, обеспечивающую норму процента i ; пусть f будет дробной частью периода начисления процентов, которая истекла с момента предшествующей даты начисления; пусть также P будет стоимостью облигации на день продажи. Тогда P0 и P являются стоимостями одного и того же контракта на различные даты и поэтому являются эквивалентными. Поэтому уравнение эквивалентности нам дает формулу

P = P0 (1 + i)f (3) для точной стоимости облигации на дату продажи.

Ранее мы говорили, что когда рассматривается дробная часть периода начисления, для аппроксимации точного результата может применяться приближенная формула, основанная на использовании простого процента вместо сложного. Тогда

P = P0 (1 + if) (4) дает приближенную стоимость облигации P .

На практике обычно используют (4) и мы будем следовать этому обычаю, если не будет оговорено противное. Обычно принято также вычислять временной множитель f приближенным способом, то есть в предположении, что год состоит из 12 месяцев по 30 дней каждый.

ПРИМЕР 1 Найти покупную цену на 16 июня 1990 г. для облигации с лицевой стоимостью 10 млн рб, выкупаемую по номинальной стоимости 1 октября 2015 г., и предусматривающую проценты с нормой 6\% , m = 2.

РЕШЕНИЕ Предшествующая дата начисления процентов по облигации 1 апреля 1990 г. Число периодов начисления от этой даты до даты выкупа равно 51. Поэтому стоимость облигации на 1 апреля 1990 г. равна

P0 = 10 + (0,35 0,30) a-|3\% = 10 + 1,2976 = 11,2976 млн рб

Считая по 30 дней в каждом месяце, определяем срок от 1 апреля по 16 июня равным 75 дней, так что f = 75/180 = 5/12 . Формула (4) тогда дает

P = 11,2976 (1 + 0,03 (5/12)) = 11,2976 х 1,0125 = 11,4388 млн рб

Если бы мы применяли формулу (3) для вычисления точной стоимости, мы бы получили

P = 11,2976 (1,03) 5/12 = 11,2976 х 1,01239 = 11,4376 млн рб

Разница этих двух результатов равна 1200 рб ( 0,0105 \% ).

Другой способ получения приближенного значения P следующий. Пусть P0 имеет то же самое значение, что и ранее, и пусть P1 будет покупной ценой облигации на предстоящую дату начисления процентов. В день предстоящего начисления процента будет произведена выплата процентов R , после чего стоимость облигации станет равной P1 . Следовательно, ее стоимость непосредственно перед выплатой процентов равна R + P1 . Если мы предположим, что изменение стоимости от P0 до R+P1 происходит равномерно в течение периода начисления процентов, то стоимость облигации в промежуточную дату периода может быть найдена линейным интерполированием между этими значениями.

ПРИМЕР 2 Решить пример 1 с помощью интерполяции. РЕШЕНИЕ Как и ранее P0 = 11,2976 млн рб. Вычислим P1 .

P1 = 10 + (0,35 0,30) a _|3\% = 11,2865 млн рб.

Поэтому стоимость облигации непосредственно перед выплатой процентов по облигации равна 11,2865 + 0,35 = 11,6365 млн рб. Интерполяция стоимости между 11,2976 и 11,6365 дает

P = 11,2976 + (5/12)(11,6365 11,2976) = 11,4388 млн рб.

что совпадает с результатом примера 1.

Так как метод этого параграфа предполагает, что норма доходности облигации известна, этот метод может быть представлен как метод определения цены, которую инвестору следовало бы предложить за данную облигацию для того, чтобы она обеспечила ему установленную норму процента.