10.4 доказательство общей теоремы интерполяции

10.4 доказательство общей теоремы интерполяции

Пусть А будет текущей стоимостью аннуитета, W периодический платеж, p число платежей за год, i норма процента за период конверсии и m число периодов конверсии в год. Когда вышеперечисленные величины заданы, аннуитет обычно является нестандартным, так что заключительный платеж F , рассчитываемый на дату через один интервал платежа после последнего платежа W , для эквивалентности необходимо определять. Если q , число платежей, определяется путем интерполяции между значениями, соответствующими последовательным целочисленным значениям q , тогда дробная часть f этого решения, умноженная на W , дает заключительный платеж.

Доказательство Предположим сначала, что аннуитет является обыкновенным аннуитетом, так что временные диаграммы платежей выглядят следующим образом

Интервалы платежа : 0 1 2 3 ... q q + 1

I I I I I I

W W W ... W F

А

I I I I I

Периоды начисления : 0 1 2 ... n' n"

где n' = q (m/p) и n" = (q + 1)(m/p) . Уравнение эквивалентности с исходной датой в качестве даты сравнения имеет вид

А = R a-,. + F (1 + i) -n", где R = W/ s—, .

Поэтому

F = (А Rani )(1 + i)n" (a)

Если мы установим a-^ = А / R , тогда n = (q + f)(m/p) , где f лежит между

0 и 1. Интерполирование по n между n' и n" эквивалентно интерполированию по f , что дает

Отсюда

А R a-, = f R (a^,. a-,.) . (b)

Исключая А из (а) и (Ь) , получим

F = f R (an"i ani )(1 + i)n" .

Используя тождество (10) из параграфа 4.4

a-, _ a-, = a , (і +i)n"-n'

n"i n' i n"—rii V / '

приходим к равенству

f = f R an"—n]i (1 +i)n"-n' = f Rsn^]i. (c)

Но n" n' = m/p и R sTpi = W , поэтому F = f W.

Если аннуитет является полагающимся аннуитетом, каждый платеж, включая F , приходится на один период раньше и равенство (а) преобразуется к виду

F = (А Ran<г )(1 + i)n , где R = W/a-pi. Равенство (c) принимает вид

F = f R a^=f Ra-rPl= f W.