11.4 цены и доходности

11.4 цены и доходности

Мы теперь обратимся к рассмотрению акций с фиксированным доходом. Как и в других задачах сложных процентов, рассматривается один из двух вопросов:

а) Какую цену А, или Р на единицу номинала, следует заплатить

инвестору за акцию с чистой доходностью i годовых?

б) При условии, что инвестор заплатил цену А, или Р на единицу

номинала, какой чистый доход он будет получать за год?

Чтобы ответить на вопрос а), мы положим А равной настоящей стоимости процентных и капитальных платежей при процентной ставке i годовых минус любые налоги, выплачиваемые инвестором. То есть

А = (настоящая стоимость чистых процентных

платежей при процентной ставке i годовых) + (7) + (настоящая стоимость чистых платежей капитала при процентной ставке i годовых)

Ценой за единицу номинала является, конечно, Р = А/N , где N является количество номиналов акции, к которой относятся платежи.

Чтобы ответить на вопрос б), мы положим А в равенстве (7) равной покупной цене и решим получающееся уравнение относительно чистой (нетто) доходности i . Доходность, котируемая в прессе, для акций с фиксированным доходом часто является брутто годовой доходностью номинала, конвертируемой по полугодиям. Если инвестор продает свою акцию до выкупа, или если он подвергается налогообложению, его фактическая доходность в общем случае будет отличаться от той, которая котируется в прессе.

Доходность актива иногда называется доходностью до выкупа или выкупной доходностью, чтобы отличать ее от постоянной (или текущей) доходности, которая определяется как D/Р , отношение купонной ставки к цене за единицу номинала акции.

ПРИМЕР 1 Определенная акция с фиксированным доходом, выпущенная коммерческой компанией, была выкуплена по номиналу 1 октября 1997. Акция порождает процент 6\% годовых, выплачиваемый по полугодиям 1 апреля и 1 октября.

а) Какая цена в процентах должна быть предложена за эту акцию 1

августа 1975, чтобы гарантировать доход 5\% годовых для инвестора,

освобожденного от уплаты налогов?

б) Какую годовую доходность этой акции предлагать инвестору,

освобожденному от уплаты налогов, который покупает ее 1 августа 1975 за

117 \% ?

РЕШЕНИЕ

а) В этом примере мы имеем R = 1, N = 100, С = 100, D = 0,06 и р = 2. Цена А, которую следует предложить 1 августа 1975, чтобы гарантировать доходность 5\% годовых, равна по формуле (7)

А = настоящая стоимость 5\% процентных платежей + настоящая стоимость 5\% капитальных платежей =

3 + 6aq + 100V

22

= v1/6

при 5\% = 116,19

б) Теперь мы решим уравнение стоимости

117 = v1/6

3 + 6a(2) + 100v 22

22

относительно процентной ставки i . В части а) правая часть уравнения рассчитывалась при i = 5\% и равнялась 116,19 , так что доходность будет несколько ниже, чем 5\% годовых. Последующие вычисления с применением интерполяции дают i & 4,94 \% годовых.

Замечание Можно было бы работать также с полугодовыми периодами; соответствующее уравнение стоимости тогда имело бы вид

117 = v1/3

З + За-, + 100v 44

44

при ставке ї

которое имеет приближенное решение Ї 0,0244, так что эффективная доходность за год равна i (1,0244) 2 1 или 4,94 \% как и ранее.

Когда решают уравнение стоимости при помощи интерполяции (чтобы найти доходность), удобно иметь грубое представление о порядке величины требуемого решения. В большинстве ситуаций верхнюю и нижнюю границы можно найти довольно просто, как показывают следующие рассуждения.

Рассмотрим акцию, которая будет выкупаться через п лет по выкупной цене R за единицу номинала. Предположим, что акция порождает проценты, выплачиваемые ежегодно просрочкой при купонной ставке D годовых, и что инвестор, который подвержен подоходному налогу по ставке t1 покупает акцию по цене Р за единицу номинала. Что можно сказать относительно величины i , чистой годовой доходности инвестора?

Взамен платежа Р инвестор получает чистый процент каждый год, равный D(1 t1) , и выручку при выкупе R . Значит, его чистая доходность i является такой процентной ставке, для которой

Р = D(1 t1) сіц + Rv п (8) Если R = Р , тогда очевидно, что

i = D(1 -11) P

Если R > Р , то имеется прирост при выкупе и поэтому D(1 -11)

i >

P

В этом случае этот прирост равен R Р . Если инвестор должен получать этот прирост равными взносами каждый год в течение п лет, а не отдельной суммой после п лет, он будет иметь некоторое преимущество. В этом случае каждый год он получал бы D(1 t1) + (R Р)/п как доход (и Р как выручка при выкупе), так что его чистый годовой доход был бы [D(1 t1) + (R Р)/п]/Р . Это превышает i , поэтому

D(1 h)

P

< i <

D(1 -11) + (R P)l n

P

Потери при выкупе равны (Р R) . Если инвестор будет нести эти потери равными взносами каждый год в течение п лет, а не отдельной суммой после п лет, он очевидно будет в менее преимущественном положении. В этом случае каждый год он получал бы D(1 t1) (Р R)ln как доход (и Р как выручку при выкупе), так что его чистый годовой доход был бы [D(1 -t1) (Р R)ln]lP = [D(1 t1) + (R P)ln]lP . Это уменьшает i , поэтому

D(1 t1)

P

> i >

D(1 -11) + (R P)l n

P

Таким образом, во всех случаях i лежит между D(1 ^)!Р и [D(1 t1) + + (R Р)!п]!Р . Для большинства практических целей эти границы достаточны для получения удобных значений при использовании их для интерполяции.

ПРИМЕР 2 Акция порождает проценты при ставке 7,5 \% годовых, выплачиваемых просрочкой, и является выкупаемой по номиналу через 20 лет. Предполагая, что все проценты, полагающиеся в настоящее время, не будут получены покупателем, найти чистую годовую доходность для инвестора, подверженного подоходному налогу 33 1l3 \% , который покупает 80\% этой акции ?

РЕШЕНИЕ Заметим, что так как чистые годовые процентные платежи равны 5 млн руб на издержки 80 млн руб (т.е. 6,25 \%) и акция выкупается за 100 млн руб, чистая доходность будет очевидно превышать 6,25 \% годовых. Прибыль при выкупе равна 20 ьлн руб на 100 млн руб номинала. Если эта прибыль выплачивается равными годовыми взносами (каждый суммой 1 млн руб) выплата 80 млн руб обеспечивала бы чистый доход 6 млн руб в каждом году, или 7,5 \% . Это было бы более привлекательной инвестицией, чем имеющаяся в наличии. Чистый годовой доход, таким образом, меньше, чем 7,5 \% . Мы имеем купонную ставку D = 0,075, цену, выплачиваемую за единицу номинала, Р = 0,8, выкупную цену за единицу номинала R = 1, ставку подоходного налога t1 = 1l3 , и срок до выкупа п = 20. Уравнение стоимости имеет вид

Р = D(1 t1)a -, + Rv

при ставке i

т. е.

0,8 = 0,05а ^ + v 20 .

Сделанные выше замечания показывают, что i лежит между 0,0625 и 0,075. Когда i = 0,065 , правая часть последнего уравнения равна 0,8347, а когда i = 0,07 , она равна 0,7881 . Путем интерполяции мы оцениваем i как 0,0687 или 6,87 \% . (На самом деле, чистая годовая доходность в процентах с точностью до четырех десятичных знаков равна 6,8686. Таким образом, метод интерполяции дает достаточно точный результат в этом случае.)

Приближенное значение процентной ставки из уравнения (8) может быть получено следующим образом. Пусть g = D/R , так что g(1 t1) является чистым годовым процентом на единицу выкупной цены. Уравнение (8) теперь может быть записано в виде

Р = g(1 t1)Ra n + Rv п = при ставке i

= R [g(1 t1)a n+ (1 i a n)] из которого получаем

g(1 t1) i — = 0 , (9)

a-,

где a вычисляется при ставке i и

k = (Р R) / R . (10)

Много различных способов предложено для нахождения приближенного решения уравнения (9). Здесь мы рассмотрим только аппроксимации, основанные на разложении Маклорена функции 1/ ац , т.е.

1 i 1 n +1 n -1 2 ґлл^

= — = — + x i + x i +... (11)

ац 1 (1 + i) n n 2n 12n

Отбрасывая в уравнении (9) слагаемые со степенями i выше, чем первая, и подставляя 1/ а ц в уравнение (9), мы получим

g(1 ti ) k / n

i = ( / Л ■ (12)

2n )

Эта формула является достаточно точной, когда п и / не очень велики. Большей точности обычно можно достичь оставляя в уравнении (11) слагаемые со степенями i до i . Уравнения (9) и (11) тогда дают квадратичное уравнение

-n2 -1

12n

i2 +

2n

n

0

(13)

В практических обстоятельствах только один корень этого уравнения является подходящим, другой является заметно отличающимся от значения, задаваемого уравнением (12). Применяя формулы (12) и (13) в примере 2 для k = 2, п = 20 и g(1 — ґ1) = 05 , мы получим приближенные доходности 6,70 \% и 6,80 \% , соответственно.