1.2.1. лексиграфическое предпочтение

1.2.1. лексиграфическое предпочтение

Существуют блага д (золото) и р (бумажные деньги). Принимающее решение лицо (с ненасыщаемыми потребностями) применительно к этим благам имеет соотношение предпочтений

(уьРі) >_ (У2,Рг) [.9і > Оі] или

[(Jl = (J2 И pi > р2].

Опишите вербально это соотношение предпочтений.

Покажите, что это соотношение предпочтений удовлетворяет аксиомам сравнимости и транзитивности.

* * *

1. Лицо, принимающее решение и имеющее описанную лексикографическую структуру предпочтений, сильно опасается инфляции. Для него первый портфель является по меньшей мере таким же хорошим, как второй портфель, если в первом содержится больше золота, чем во втором, или если при одинаковом объеме золота в нем содержится по меньшей мере столько же бумажных денег, сколько и во втором. Сперва для принятия решения имеет значение золото. Бумажные деньги — в каком бы то ни было объеме — вообще не играют роли до тех пор, пока один из портфелей — пусть даже лишь «на частицу пылинки» — содержит больше золота. Только тогда, когда оба портфеля содержат одинаковый объем золота, наше лицо, принимающее решение, принимает во внимание бумажные деньги как критерий для принятия решения.

2. Если мы хотим проверить, выполняется ли аксиома сравнимости, мы должны различать три случая.

а) <ji > <j2' так как д является единственно значимым для принятия

решения, ВерНО (</і,Рі) У {(J2,P2)б) 9i < 92' так как здесь первый портфель содержит меньше у, чем

второй, должно быть верно -< (92, Рг)в) 9i = 92' если оба портфеля содержат д в одинаковом объеме, р уже

имеет некоторое значение. Поэтому сейчас мы должны различать

следующие ситуации.

І. Pi > Р2 => (flbPl) >~ (У2,Р2), ІІ. р! < Р2 => {ді,Рі) < (32,Р2), Ш. pi = р-2 => (ffbPl) ~ (с/2,Р2)В каждом из этих случаев можно сделать суждение о соотношении ценностей обоих портфелей. Таким образом, выполнена аксиома сравнимости.

Для проверки верности аксиомы транзитивности введем третий портфель (9з,Рз)> такой, что верно (дг^Рг) Ъ (9з,Рз). Необходимо различать четыре ситуации.

а) 9i > 92 и > 9з' из <ji > <j2 и <j2 > 9з вытекает непосредственно

дх > дз. Поэтому здесь должно быть верно (ffi.pi) >(93,Рз).

б) Зі > 92 и 32 = 9з и р2 > рз: портфель 1 содержит больше золота, чем

портфель 3, из чего следует (ffi.pi) >(93,Рз).

в) 9i — 92 и pi > р2 и <j2 > 9з" соответственно предположению тогда

Зі > дз. Поэтому при используемом здесь соотношении предпочтения должно быть верно (gi,pi) >(93,Рз)г) 9i = 92 и д2 = 9з и pi > р2 и р2 > рз' решающее значение здесь имеют лишь бумажные деньги. Из-за заданного соотношения поэтому

верно (51,рі) У (9з,Рз).

Для всех обсуждаемых здесь ситуаций выполняется аксиома транзитивности.

1.2.2. Ординалистская функция полезности Проверьте, идет ли речь при

если х У z У х, при 0 < д < 1 и z ~ qx + (1 q)x] если z ~ х

X

об орди нал истской функции полезности.

Мы называем функцию ординалистской, если верно

2,^22*=>Щ2і)> U(z2), 21 ~22^[у(21) =U(Z2).

(1.35)

Мы концентрируем внимание на (1.35) и проверяем лишь условие необходимости. При этом мы предполагаем, что z >~ z2, и должны различать далее четыре ситуации.

х ~ 2i >z2 >х: при предполагаемой здесь функции полезности тогда верно U(zi) = 1 и U(z2) = q2. Из-за 1 > q следует U(z) > U(z2).

x ~ 2i >z2 ~ x: здесь мы получаем U{z) = 1 и U(z2) = 0и благодаря этому U{zi) > U(z2).

х >zi >z2 ~ x: в этом случае функция полезности равна U(z) = q2 и fj(22) = 0. Так как q положительна, следует U(z) > U(z2).

х >~ z >~ z2 >х: в этом случае мы имеем С/(лі) = q и С/(г2) = q2 и должны показать, что из наших предположений вытекает соотношение q > > <72. Из определения функции полезности вытекает q = U(x, х : qi, 1 — — q) и q2 = U(x,x : q2,1 — 92). Так как z >~ z2, должно быть верно (x,x : <7i, 1 — <7i) >(a",£ : <j2,1 — q2). Но это из аксиомы доминирования приводит к qx > q2 и впоследствии к <72 > <72. Таким образом, доказывается, что наша функция полезности является ординалистской.