1.2.3. кардиналистская функция полезности

1.2.3. кардиналистская функция полезности

Является ли функция полезности из 1.2.2 кардиналистской?

*

Для того чтобы мы могли говорить о кардиналистской функции полезности, должно быть верно

С/([2Ь22 : qA q]) = qU{Zl) + (1 q)U{z2).

Для проверки данного свойства у этой особой функции полезности рассмотрим случай х ~ 2i >22 х х. Из аксиомы независимости верно [21, z2 : q, 1 — — q] ~ x,z2 : q, 1 — q}. Из аксиомы непрерывности должно существовать q2 при 0 < q2 < 1, так что 22 ~ х,х : q2,1 — q2. Новое использование аксиомы независимости дает после преобразования

[zuz2 :qA-q}~ [x,x: q + (1 q)q2, 1 {q + (1 q)q2)].

Из определения функции полезности следует

U([x,x: q

+ (1 q)q2, 1 (q + (1 9)92)]) = (<? + (!<?)<?2)2.

(1.36)

Так как по предположению верно U(z) = 1 и U(z2) = q2, должно быть верно

U([zx,z2 :q,l-q])= qU{zx) + (1 q)U(z2) = q + (1 q)q22. (1.37)

Так как (1.36) и (1.37) не совпадают, обсуждаемая функция полезности не является кардиналистской.

Литература

Гюнтер Бамберг и Адольф Кённенберг {Bamberg G., Coenenberg A. G. Betriebs-wirtschaftliche Entscheidungslehre. 9. Aufl. Miinchen: Vahlen, 1996), а также Гельмут Лаукс (Laux H. Entscheidungstheorie. 4. Aufl. Berlin: Springer, 1998) объясняют в коротких разделах понятие лексиграфической структуры. Конкретные примеры приведены у Ганса-Вернера Зинна (Sinn H.-W. Okonomische Entscheidungen bei UngewiBheit. Tubingen: J.C.B. Mohr, 1980). Доказательства существования ординалистских и кардиналистских функций полезности заинтересованный читатель может найти у Роберта Йерроу (Jarrow R. A. Finance Theory. Englewood Cliffs: Prentice-Hall, 1988).