2.2. формы отношения к риску

2.2. формы отношения к риску

При изучении «значимости постоянных издержек» и «страхового договора с лимитом собственной ответственности» выяснилось, что начальный запас влияет на выбор альтернатив. В продолжение этого мы сконцентрируем внимание на измерении систематической связи между отношением к риску и личным богатством для конкретных функций полезности (и их положительных линейных преобразований). Отношение к риску измеряется с помощью показателей риска «абсолютная нерасположенность к риску» (ARA) и «относительная нерасположенность к риску» (RRA). На основе этих показателей мы, в общем, в состоянии обосновать, почему ограничение допустимых правил преобразования необходимо для класса положительных и линейных преобразований.

Особенно большое внимание уделено нами разным видам интенсивности риска, т. е. производным показателям риска. Для того чтобы соответствующая, но не всегда сразу понятная интерпретация этих выражений была более ясной, мы выбираем здесь путь расчета оптимума для инвестора в модели двух ситуаций, который хочет разделить свое имущество на рисковое и безрисковое вложения. В заключение главы опять приводится задача, которая предназначена для применения приобретенных таким образом знаний. Необходимо будет определить критическую ставку процента применительно к рискованному проекту, хотя бы частично финансируемому заемным капиталом, а также квантифицировать влияние отношения к риску инвестора на эту ставку процента.

2.2.1. Избранные функции полезности и отношение к риску

Вы долгое время вели наблюдение за тем, как ваши друзья Максим, Вероника и Игорь принимают решения в условиях риска. Благодаря вашим способностям сыщика вы пришли к результатам, что эта троица имеет следующие функции полезности:

Максим: U(x) = —1 + ет,

Вероника: U(x) = 2 + 4000 .г 0.002 5;2,

Игорь: U(x) = 1000+ 2 і:.

Как бы вы описали отношение к риску своих друзей? Используйте в качестве показателей абсолютную и относительную нерасположенность к риску.

Покажите, что для Максима ожидаемая полезность всегда выше полезности математического ожидания. При этом исходите из существования мира только с двумя ситуациями.

С помощью функции полезности U(x) определяется как значение начального запаса, так и значение будущих негарантированных денежных потоков. Значит, если мы введем для оценки негарантированных результатов некую функцию полезности, то тогда нам следует использовать в точности ту же функцию для оценки имущества. Абсолютная нерасположенность к риску, в общем, определяется3 через формулу

(Р U/dx2

ARA = '-. . (2.5)

dU/dx V '

Так как мы всегда исходим из того, что для всех индивидуумов, а значит, и для ваших друзей, возрастание дохода приводит к извлечению дополнительной полезности, то первая производная каждой экономически правдоподобной функции полезности положительна. Таким образом, для оценки отношения к риску решающее значение имеет знак второй производной. При этом верны приведенные в табл. 2.8 связи. Следовательно, для того чтобы суметь оценить отношение к риску ваших друзей, вы должны знать первую и вторую производные соответствующих функций полезности. Для соответствующих производных функции полезности Вероники мы получим

dU d2U

— = 4000 0.004 х > 0 и —= -0.004 < 0,

dx dx.J

В дальнейшем мы откажемся от замены переменной х переменной имущества IVо. Но хотелось бы напомнить, что для абсолютной нерасположенности к риску можно записать также

d2 U /dWg ARA = -dU J dWo

Аналогичное верно и для относительной* нерасположенности.

так что сразу же можно определить Веронику как нерасположенную к риску.4

С помощью числовых значений ARA и RRA мы хотели бы более подробно проанализировать отношение Вероники к риску. Абсолютная нерасположенность к риску, согласно этим расчетам, оказывается равной

d2 II/dx -0.004

ARA = —

dU/dx 40000.004х'

Из умножения ARA на х получаем относительную нерасположенность к риску

d2U/dx2 _ -0.001.7:

RRA

dU/dx 4000 0.004 5:

Если имущество увеличивается, то применительно к абсолютной нерасположенности к риску можно различать три альтернативы, см. табл. 2.9. И для относительной нерасположенности к риску при изменении имущества существуют три возможности, детали которых мы можем для себя легко выяснить, взглянув на табл. 2.9. Все представленные там эффекты верны соответственно, если заменить dARA/dx dRRA/dx и «абсолютную сумму» на «долю имущества». Как изменятся числовые значения Вероники, если увеличивается имущество? Для ответа на этот вопрос мы должны взять производную

(fARA _ d (0.004/(40000.004 .с)) _

dx d x

= -°-°04 2 (-0.004) > 0 (4000 0.004 x)2 '

4 Мы должны, однако, ограничить диапазон определения интервалом 0 < Ї < < 1 млн руб., так как функция полезности Вероники лишь здесь характеризуется положительной предельной полезностью.

и правильно проинтерпретировать положительный знак. Предпочтения Вероники характеризуются возрастающей абсолютной нерасположенностью к риску. С возрастанием имущества ее рискованно вложенная денежная сумма сокращается. Если же абсолютная сумма сокращается, то это автоматически приводит к тому, что уменьшается и относительная доля рискованно вложенных денег с ростом имущества. Тот, кто в этом выводе сомневается, пусть выяснит для себя это на следующем примере. Вероника владеет в исходной ситуации 150 000 руб., из которых 100 000 руб. инвестированы без риска, а 50 000 руб. — рискованно. Доля с риском вложенных денег составит тогда 1/3. Из-за своей возрастающей нерасположенности к риску Вероника — если ее имущество повышается до 200000 руб. — будет вкладывать с риском меньше 50 000 руб., например лишь 40 000 руб. Доля рискованно вложенной суммы сократится, таким образом, на 20 \%. Даже если Вероника и при большем имуществе 50 000 руб. инвестировала бы рискованно (постоянная абсолютная нерасположенность к риску), доля рискованно инвестированного имущества снизилась бы до 50 000/200 000 = 1/4. Следовательно, мы можем с уверенностью утверждать, что возрастающая, точно так же как и постоянная, абсолютная нерасположенность к риску, обязательно предполагает возрастающую относительную нерасположенность к риску. Значит, для Вероники мы должны ожидать, что производная ARA по х будет иметь положительный знак

(MRA _ d (0.004 £/(40000.004 х)) _

dx d х

_ 0.004 • (4000 0.004 х) 0.004 і • (-0.004) _ (4000 0.004 ї]2

(4000-0.004 х)2

Теперь давайте обратимся к анализу предпочтений Максима. Если дважды продифференцировать его функцию полезности

—— = е1 > 0 и -— = ех > 0, dx dx^

то это даст нам уверенность в том, что Максим является расположенным к риску человеком. Для показателя ARA и ее первой производной получаем

лпА d2U/dx ё dARA м

ARA = - '-.— = —т = -1 и —-—=0. (2.6)

dU/dx ег dx v '

При проверке показателя RRA и ее первой производной для Максима мы определяем

„„л - d2U/dx2 _ dRRA ,

RRA=-x = -і и —- = . 2.7

dU dx dx V '

Что означает этот результат? Вспомним, что Максим является расположенным к риску лицом. В его случае можно говорить не об абсолютной и относительной нерасположенности к риску, а об абсолютной и относительной расположенности к риску. Благодаря (2.С) сумма, которую Максим с риском вложит, не изменится при возрастании имущества, т. е. он имеет постоянную абсолютную расположенность к риску. Но это предполагает убывающую относительную расположенность к риску.

Функция полезности Игоря является менее сложной, чем функция Максима. При

dU п J2 U

— =2>0 и — =0 ах (ixмы можем идентифицировать Игоря как нейтральное к риску лицо. Так как вторая производная функции полезности равна нулю, показатели ARA и RRA, а также их производные принимают нулевые значения, которые делают интерпретацию невозможной. 2. Функция полезности Максима выпукла вниз. Этот вид функций обладает тем свойством, что линейная комбинация двух значений функции U(x) и U(x2) при х < х < х2 по меньшей мере так же велика (или больше), как (чем) значения функции 0'(т). Поэтому их можно охарактеризовать следующим образом:

U(xi) + (1 ~X)U(x2) > £/(.гі < х < х2) >

> UiXxi + (1 A):r2) (2.8)

при 0 < < 1. Сейчас мы предположим, что Х[ реализуется с вероятностью q, а т2 — с вероятностью 1 — q, и заменим в формуле (2.8) Л на q. Это даст нам

qU(x1) + (1 q) U(x2) > U{qxx + (1 q)x3), E[U(!:)}> U(E{x}).